Schwarz, Grenzübergang durch alternirendes Verfahren. 281 



g-enügt und auf der Begrenzung Lq-\~L^ die vorge- 

 schriebenen Werthe annimmt. 



Hiermit ist der Beweis für die oben ausgespro- 

 chene Behauptung angedeutet; unter den angegebenen 

 Voraussetzungen ist es auch für den Bereich 2' mög- 

 lich, die partielle Differentialgleichung A m = will- 

 kürlich vorgeschriebenen Grenzbedingungen gemäss 

 zu integriren. — 



Durch wiederholte Anwendung und geeignete 

 Modifikation des erwähnten Grenzüberganges durch 

 alternirendes Verfahren kann die Existenz einer Funk- 

 tion M für ein gegebenes Gebiet auch dann, wenn 

 ausser den Grenzbedingungen noch Unstetigkeitsbe- 

 dingungen, oder wie bei den Abel' sehen Integralen 

 Unstetigkeitsbedingungen allein vorgeschrieben sind, 

 in den Fällen dargelhan werden, für welche Rie- 

 iiiann in seinen Abhandlungen die Existenz behauptet 

 und mittelst des Dirich let'schen Princips zu bewei- 

 sen gesucht hat. 



Das erläuterte Beweisverfahren eistreckt sich 

 nicht blos auf den Fall, in welchem die das Gebiet T 

 repräsentirende einfach oder mehrfach zusammenhän- 

 gende Riemann'sche Fläche in Ihrer ganzen Aus- 

 dehnung in derselben Ebene oder auf derselben Kugel- 

 fläche enthalten ist, sondern gilt im Wesentlichen un- 

 verändert auch dann noch, wenn diese Fläche auf 

 einer aus mehreren ebenen oder sphärischen Flächen 

 zusammengesetzten Polyederoberfläche ausgebreitet ist. 



Mit Hülfe dieser Erweiterung kann unter Anderem 

 auch der Beweis geführt werden, dass ein einfach , 

 zusammenhängender auf einer solchen Polyederober- 

 fläche ausgebreiteter Bereich conform abn^ebildet wer- 



