Notizen. 87 



und vertreten das ganze System als Repräsentanten derjenigen 

 Kreise desselben, die ihre Centra im Durchmesser x haben. 

 Auf sie oder auf eine beliebige gleichseitige Hyperbel beziehen 

 sich die folgenden Entwickelungen, deren rein elementarer 

 Gang zur Ausdehnung der Methode auf den imaginären Schnitt- 

 winkel (mit cos 0* > 1) führt. Die zugehörige Figur, die hier 

 unterdi'üokt werden muss, wird nach den folgenden Angaben 

 leicht zu bilden sein. Eine gleichseitige Hyperbel von der re- 

 ellen Halbaxe 



MA=MB=u 

 sei so gelegen, dass ihre Hauptaxe mit dem x^ ihre Nebenaxe mit 

 dem z eines rechtwinkligen Coordinatensystcms vom Anfangspunkt 

 M zusammen fällt. Wir betrachten zwei Punkte P, P' derselben 

 mit den Coordinaten (x-, s) und {x\ z') respective und wollen die 

 Fusspunkte der Perpendikel von P und F auf die Axen z und 

 X durch und 0* respective bezeichnen und mit ihren Längen um 

 diese Fusspunkte Kreise beschreiben, die als feste Kreise der 

 Systeme von bestimmten Schnittwinkeln c, o* dienen sollen; so 

 dass also R = x' und R* — z' ist. Wir fällen ferner von P oder 

 (ic, z) auf P' das Perpendikel vom Fusspunkt N und der 

 Länge (z' — z) und auf P' 0* das Perpendikel vom Fusspunkt 

 iV* und der Länge {x' — x) und beschreiben um JV respective 

 N* mit diesen Längen die Kreise der Systeme r respective r* 

 sodass r = z' — s^r* =^ x' — x ist. Da zugleich die respectiven 

 Centraldistanzen c = a; und c* = z sind, so gelten für die cosinus 

 der Schnitiwinkel der Kreise J?, r und R*^ r* respective die defi- 

 nirenden Gleichungen 



x'^ -^ {z' — sY — x"" . z''' -\- {x' — xY — z' 



cos G = ^ . , . ^^ , cos ö* = ^ 



2 x' iz' — z) 2 z' (x' — x) 



Aus der Entstehung unserer gleichseitigen Hyperbel als Um- 

 legung der Durchdringung von zwei mit den Scheiteln Ä und B 

 als Spitzen und den Normalen zur Zeichnungsebene als Axen 

 gebildeten gleichseitigen Rotationskegeln ergiebt sich aber für die 

 Punkte P' derselben, dass die zugehörigen Kreise um mit P' 

 durch die Scheitel A und B gehen oder dass x^ — z^ = i'o^ ist, d. h. 



.j,i2 ^2 _ ^'2 _ ^2 



oder durch Substitution in die vorigen Gleichungen 

 z' x' 1 



cos O = — - , cos ö* = 



X z cos a 



