88 Notizen. 



und für die Tangenten, dass der Fusspunkt des Perpendikels 

 P' zur Nebenaxe und der Fusspunkt T der Tangente P' T in 

 derselben mit den Scheiteln A und B rechte Winkel AT^OBT 

 bestimmen. Daraus folgt 

 s' -.x' = M : P' = MO : A = A.O T = P' : T=cota 



für a als den Winkel, den die Tangente der Hyperbel in P' mit 

 der Axe der x oder mit P' einschliesst. 



MO :0P' = cot« 

 sagt zugleich, dass a der Winkel ist, unter dem die Coordinate OP' 

 vom Centrum M aus erscheint; und man sieht, dass 



cos ö* = cot a* = 310*: 0* P' 

 die Fortdauer dieser geometrischen Definition auch für den 

 imaginären Schnittwinkel ausspricht. Daher kann das Ergeb- 

 niss in folgende Anschauung zusammengefasst werden, aus 

 dfer die darstellend geometrischen Lösungen aller bezüglichen 

 Probleme entspringen: Man zeichnet den Winkel «, dessen 

 Cotangente dem gegebenen Cosinus gleich ist und bestimmt 

 zum gegebenen Kreise vom Mittelpunkt (oder 0*) und Radius 

 P' = B (oder 0* P' — B*) mit diesem als der einen Kathete 

 die an « anliegende andere Kathete M (oder O* M) und 

 durch Antragen von a in P' an P' (oder 0* P') an der 

 Seite von M die Tangente der gleichseitigen Hyperbel, woraus 

 man leicht ihre Scheitel A und B erhält {A B ist für reellen 

 Schnittwinkel o parallel dem Anfangs-Radius P\ für ima- 

 ginären 6* normal zu demselben 0* P'). Rotirt nun die so ge- 

 fundene Hyperbel um ihre zur Bildebene normale Axe — die 

 Nebenaxe M im Falle der reellen und die Hauptaxe 0* M im 

 Falle des imaginären Schnittwinkels, — so ist das entstehende 

 gleichseitige Rotations-Hyperboloid (ein einfaches im ersten, 

 ein zweifaches im zweiten Falle) der Ort aller Punkte, deren Kreis- 

 bilder den gegebenenen Grundkreis unter dem Winkel vom vor- 

 geschriebenen Cosinus schneiden. Verschiebt man die Bild- 

 ebene parallel zu sich selbst, so giebt das einfache Hyperboloid 

 stets reelle Grundkreise B und reelle Schnittwinkel a zwischen 

 0° für den unendlich fernen Querschnitt, (d. h. nicht darstellbar, 

 so lang ^0 nicht Null ist) und 90° für den diametralen; das zwei- 

 fache für Ebenen, die ausserhalb der Strecke A B die Axe 

 schneiden, reelle endliche Grundkreise mit Schnittwinkeln von 



