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Eine Involution im Strahlen- oder Ebenen-Büschel ist be- 

 kanntlich symmetrisch, wenn ihre Doppelelemente reell 

 und rechtwinklig zu einander sind, weil diese dann die halbirenden 

 für jedes der Involution angehörige Paar von Elementen sind. 

 In Folge dessen lassen die beiden Aufgaben: Durch eine hy- 

 perboloische Involution im Strahlenbüschel, d. h. eine solche 

 mit reellen Doppelstrahlen r/, /*, ein symmetrisch-involutorisches 

 Ebenenbüschel zulegen, und eine hyperbolische Ebeneninvolution 

 durch einen bestimmten Punkt ihrer Scheitelkante nach einer 

 symmetrischen Strahleninvolution zu schneiden — unendlich viele 

 Lösungen zu. 



Denn im ersten Falle drehen wir um den einen Doppel- 

 strahl g der Involution eine Ebene und legen durch den andern 

 Doppelstrahl /* zu jeder ihrer Lagen die Normalebene, um 

 in der Schnittlinie eines jeden solchen Paares eine Lage der 

 gesuchten Scheitelkante der projicirenden symmetrischen Ebenen- 

 Involution zu erhalten. Diese Scheitelkanten erfüllen daher 

 einen Kegel zweiter Ordnung K^ und man sieht leicht, dass 

 jede zu g oder li normale Ebene denselben in einem Kreise 

 schneidet, für den die Schnittpunkte mit ^r und li Endpunkte eines 

 Durchmessers sind. 



Im zweiten Falle denken wir durch den in der Scheitelkante 

 angenommenen Punkt in der einen Doppelebene Gr eine gerade 

 ßTi und bestimmen die Schnittlinie Ih ihrer durch jenen Punkt 

 gehenden Normalebene mit der zweiten Doppelebene i?, um 

 in der Ebene g^ hy eine Ebene der geforderten Art zu erhalten. 

 Die Gesammtheit solcher Ebenen bildet also einen Kegel zweiter 

 Classe K^ durch Umhüllung; derselbe berührt auch die Ebenen 

 G und H, nämlich in den Geraden, die zur Scheitelkante des 

 Ebenenbüschels im gewählten Punkte rechtwinklig sind oder 

 in den Scheiteln des Linienwinkels, durch den der Flächenwinkel 

 (6r , H) gemessen wird. 



J. Steiner hat ohne Bezug zu den hier besprochenen Pro- 

 blemen, die ihm jedoch wohl nicht fremd waren, diese Kegel 

 und die entsprechenden sphärischen Kegelschnitte in den Doppel- 

 sätzen 3, 4 und 5, 6 auf p. 219 f. seiner „Systemat. Entwick- 

 lung" aufgeführt. 



