326 Beyel, centrische Collineation nter Ordnung in der Ebene. 



Zwei Punkte T auf einem Strahle q^ bilden mit M^ 

 und dem Schnittpunkte i¥i* von q^ und m^ eine harmo- 

 nische Gruppe. Ziehen wir nämlich in M^ die Normale 

 w, zu 9, und in ihren Schnittpunkten mit Q' die Tan- 

 genten, so treffen diese sich auf m^ und bilden mit i«, 

 und dem Strahle nach i/j ein harmonisches Büschel. 

 Sein Schnitt mit q^ ist die oben erwähnte harmonische 

 Gruppe. T^ ist zu sich selbst centrisch involutorisch mit 

 i/i als Centrum und Wj als Axe. 



Bestimmen wir zu Pi den vierten harmonischen ^2 

 in Bezug auf m^ und m-^ und auf q^ die zwei Punkte T, 

 so liegen diese mit den Punkten T in q^ auf Geraden 

 durch M.2 resp. M.^. Um dies zu zeigen, construiren wir 

 in J/j die Normalen n^ , n^ zu q^ q^ . Da nun {q^ q^ m^ m^ ) 

 = — 1, so folgt, dass auch (wj n^ m^ «^2) = — 1 ist. Es 

 werden also die Verbindungslinien der Schnittpunkte von 

 Hj ??2 mit Q' durch M2 resp. M^ gehen. Folglich schnei- 

 den sich die Tangenten in diesen Punkten auf Q' paar- 

 weise in m.^ resp. m^, sind also Linien einer centrischen 

 Involution erster Ordnung (M^m^) resp. {Msin^), welche 

 sich entsprechen. 



In diesen Involutionen sind aber auch q^ und ^2 ein- 

 ander zugeordnet. Also müssen die Schnittpunkte der- 

 selben mit den Tangenten d. h. die vier Punkte T auf 

 Geraden aus M^ resp. M^ gelegen sein. 



Wir folgern hieraus, dass zwei Punkte T auf einer 

 Geraden aus M2 resp. I/3 mit diesen Punkten und il/2* 

 resp. 1/3* — den Schnittpunkten der Strahlen mit Wg 

 resp. ?W3 — eine harmonische Gruppe bilden. Also ist 

 T*^ zu sich selbst involutorisch in den centrischen Invo- 

 lutionen (Ml nij^) {M^m,^) und (M^ni^). Bestimmen wir 

 in diesen Involutionen die resp. Gegenaxen, welche die 



