Gröbli, Bewegung geradliniger paralleler Wirbelfäden. 79 



Werthe reell, falls x^ zwischen — —r- und -^ ist, da- 

 gegen nur zwei, wenn j:^ sich zwischen -y- und -^ be- 

 findet. Die Curve fünfter Ordnung besitzt noch zwei reelle 

 Doppelpunkte, um dieselben zu finden, löse man Glei- 

 chung 20) auf nach ?/, ^. Es ergibt sicli 



-(.T3-9) (2.^3^- 3x3 -81) ±4(5x3 -27)^4^-3 + 27 oi^ 



^' = 21^;^^! ^^^ 



Die beiden Werthe von y^^ welche jedem x^ entsprechen 

 fallen zusammen, wenn entweder 5 x^ — 27 oder 4 Xg -h 27 

 gleich Null ist. Dem Verscinvinden der ersten Grösse ent- 

 sprechen zwei Doppelpunkte; die Coordiuaten derselben 

 sind 



27 I 54 



97 



iTg = — -^ ist eine der oben angegebenen Grenzen für 



■^3^ ^ ^'z + 27 ^— ist die Gleichung einer Doppelcaagente. 

 Wir wollen noch die Geschwindigkeiten bestimmen, 

 mit denen sich die Fäden bewegen. Aus 10) und 12) er- 

 gibt sich für A = 



dt Aq,' ' 22) 



d^i ^ (9x-l)(4>i4 3) 

 dt 4yi3 



und hieraus folgt 



wi = -^-F= • 23) 



Aus den Differentialgleichungen 3) und 4) § 2 erhält man 

 ferner 



do^ 

 dt 



_ 9x-2 l/ 9-Pi d%, _ ((,, -l)(e,+6) 



Aq:' y 2 ' dt ~ 2q,' '^V 



