150 Gvöbli, Bewegung geradliniger paralleler Wirbelfäden. 



ist, so verschwinde^ ^' zwischen t^ = und 7/; = -^ 

 dl t LI 



wenigstens einmal; der zugehörige Werth von i^ bestimmt 



sich aus der Gleichung 



2 + 5t 4- 2 y. sin^ -M^ — v? sin*T|) = (1 + h) I/^— t^ cost^. 



Wenn t\> von bis -^ wächst, so nimmt die linke Seite 



dieser Gleichung zu, die rechte ab. Die Gleichung be- 

 sitzt daher auch nicht mehr als eine Wurzel. Derselben 

 entspricht ein Maximum von 2/1, die Bahn besitzt einen 



Doppelpunkt. Im Grenzfalle jc = — - — geht dieser 



in eine Spitze über. 



Wir wollen auch noch die Wendepunkte bestimmen. 

 Nach 15) ist 



äy^^_ a;^ + 2 (^ — 1) a;^ 4 A^x 4- 1 — 2 1 



Die Bedingung für die Wendepunkte, '^\ = 0, führt 



zu einer Gleichung vom fünften Grade , deren eine 

 Wurzel X = 1 ist. Wie aus 18) ersichtlich ist, kann x 

 niemals den Werth 1 annehmen, nach Division mit x — 1 

 bleibt die Gleichung vierten Grades 



f(x) = x*-\r{4-i-S l) x^-{2 — X) x^ — (4 — X) x+l — X = 0. 30) 

 Um die Kealität der Wurzeln dieser Gleichung zu unter- 

 suchen, müssen wir die Werthe von A bestimmen, für welche 

 zwei derselben zusammenfallen. Damit diess der Fall sei, 

 muss auch die Gleichung 



f (ic) = 4 a;' 4- (12 + 9 ;i) a;2 — (4 — 2 A) a; — 4 + ^ -= 

 erfüllt sein. Durch Elimination von x aus dieser und der 

 vorigen Gleichung ergibt sich eine Gleichung sechsten 

 Grades in l. Einfacher ist es, X zu eliminiren, man erhält 

 die Gleichung 



