300 Engel, Konstniktionen ziu* Geometrie der Flächen 



3 ersten Punkte sich auf einer und derselben Geraden 

 befinden. Soll demnach die Fläche zweiter Ordnung durch 

 die 9 Punkte bestimmt sein, so dürfen von diesen nicht 

 mehr als je 3 auf derselben Geraden liegen. Würden 5 

 der gegebenen Punkte in einer Ebene liegen, so würde 

 durch dieselben ein Kegelschnitt bestimmt, dessen sämmt- 

 liche Punkte nothwendigerweise Punkte der gesuchten 

 Fläche sein müssten, so dass, wenn einer oder einzelne 

 der 4 übrigen Punkte auch noch auf diesen Kegelschnitt 

 verlegt würden, dadurch der fraghchen Fläche wiederum 

 keine neuen Bestimmungselemente zugeführt würden. Von 

 den 9 Punkten dürfen also, wenn die Fläche bestimmt 

 sein soll, nicht mehr als 5, Punkte des nämlichen Kegel- 

 schnittes — also auch des nämlichen Linienpaares — sein. 

 Durch ähnliche Betrachtungen ergibt sich, dass von diesen 

 9 Punkten nicht mehr als 6 in einer Ebene, auch nicht 

 mehr als 6 auf einer Raumkurve dritter Ordnung, nicht 

 mehr als 7 gleichzeitig auf 3 Flächen zweiter Ordnung 

 (vgl. hiefür unten pag. 25 ff.), endlich nicht alle 9 auf 

 der nämlichen Raumkurve vierter Ordnung erster Art — 

 mit Inbegriff ihrer Degenerationsformen: 2 Kegelschnitte, 

 Raumkurve dritter Ordnung mit einer Sekante etc. — ge- 

 legen sein dürfen, damit durch sie eine einzige Fläche 

 zweiter Ordnung bestimmt werde. 



Lässt sich durch gegebene 9 Punkte nur eine einzige 

 Fläche legen, so kann man sich die Aufgabe stellen, die- 

 selbe zu konstruiren, d. h. ein Verfahren ausfindig zu 

 machen, durch welches alle Punkte derselben verzeichnet 

 werden können. Die analytische Geometrie löst diese 

 Aufgabe dadurch, dass sie die Koeffizienten berechnen 

 lehrt, welche in die allgemeine Gleichung der Flächen 

 zweiter Ordnung substituirt werden müssen, damit diese 



