308 Engel, Konstruktionen zur Geometrie der Flächen 



lutionen seien x^' und y^", die Gerade x^' y^" ist dann 

 die Polare von x' y" mit Bezug auf den zu suchenden 

 Kegelschnitt K. Wir verbinden den Punkt 1 mit den 

 Paaren entsprechender Punkte der Involutionen auf der 

 Geraden m\ ebenso auch mit den Paaren entsprechender 

 Punkte auf m" und erhalten so 2, zu diesen Involutionen 

 perspektivische, involutorische Strahlenbüschel vom näm- 

 lichen Scheitel 1. Da beide Involutionen elliptische sind, 

 so besitzen dieselben ein reelles gemeinsames Paar ent- 

 sprechender Strahlen ; die Punkte, in welchen diese Strahlen 

 des gemeinsamen Paares die Gerade x^' y^" treffen, sind 

 2 Punkte des gesuchten Kegelschnittes K, die Geraden, 

 welche den Punkt x' y" mit ihnen verbinden, die Tan- 

 genten des Kegelschnittes in diesen beiden Punkten. Man 

 kennt somit von dem Kegelschnitte K diese 2 Punkte 

 und die Tangenten in ihnen, ferner die Punkte 1 und 2, 

 also 6 Elemente, dieselben sind mehr als genügend, um 

 ihn zu verzeichnen. 



Die Kegelschnitte K^ und K^ können demgemäss in 

 jedem Falle gefunden werden; unsere Konstruktion der 

 Fläche zweiter Ordnung erfordert nun ferner die Er- 

 mittlung des dritten und vierten Schnittpunktes dieser 

 Kegelschnitte, also der Punkte S und T derselben, da 

 wir den Kegelschnitt C durch diese Punkte und die be- 

 kannten Punkte 1, 2 und 9 zu legen haben. Die Punkte 

 *S' und T können aber imaginär werden und wir haben 

 desshalb noch anzugeben, wie unter dieser Voraussetzung 

 der Kegelschnitt C unserer Fläche zu konstruircn ist. 



Um die beiden weiteren Schnittpunkte S und T der 

 Kegelschnitte K^ und K^ zu erhalten, verfährt man, wie 

 man weiss (s. Fiedler, 1. c. § 29 c), zunächst so: Man 

 verbindet 3 Punkte Z7, F, W des einen Kegelschnittes Ä'j 



