318 Engel, Konstruktionen zur Geometrie der Flächen 



D. Konstruktion der Fläche zweiter Ordnung aus 9 Punkten 

 mit Hülfe von ebenen Kurven dritter Ordnung. 



Wie aus Früherm hervorgeht, ist die Hauptschwierig- 

 keit bei der Konstruktion einer Fläche zweiter Ordnung 

 aus 9 gegebenen Punkten überwunden, sobald es gelungen 

 ist, den Schnitt dieser Fläche mit einer beliebigen Ebene 

 zu finden resp. durch die hinreichende Zahl von 5 Punkten 

 zu bestimmen. Legt man wie bei der vorigen Lösung 

 eine solche Schnittebene durch 3 der 9 Punkte hindurch, 

 so sind von dem bezüglichen Kegelschnitte blos noch 2 

 Punkte zu ermitteln und diese erhält man, indem man 

 die vierten Schnittpunkte der fraglichen Ebene mit 2 

 Raumkurven vierter Ordnung aufsucht, die durch die 

 3 die Ebene bestimmenden Punkte und je 5 weitere 

 Punkte der Fläche bestimmt sind. 



Zur Ermittlung dieser vierten Schnittpunkte kann man 

 sich auch der ebenen Kurven dritter Ordnung bedienen; 

 wir wollen das bezügliche, prinzipiell einfache Verfahren 

 erläutern, indem wir als Schnittebene die Ebene 123, als 

 Raumkurven ganz wie vorhin die Kurven Bq durch die 

 Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und B^ durch die Punkte 

 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 verwenden; wir suchen also die 

 Schnittpunkte Ag und Ä^ der Kurven B^ und B^ mit der 

 Ebene 123. Wir wollen von jeder der beiden Kurven 

 zunächst 2 weitere Punkte ermitteln. 



Alle Flächen zweiter Ordnung, welche durch 7 ge- 

 gebene Punkte gehen, enthalten bekanntlich noch einen 

 achten, linear konstruirbaren Punkt (s. den folgenden Auf- 

 satz). Derselbe liegt auf allen Raumkurven vierter Ord- 

 nung, welche durch die gegebenen 7 Punkte möglich sind. 

 .Denken wir uns den den 7 Punkten 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7 



