322 Engel, Konstruktionen zur Geometrie der Flächen 



zeitig die Doppelverhältiiisse (^5 ,^6 ,(^ ,^9 ) und (P5, P6, P7, P9) 

 einander gleich werden. Sollen die beiden ersten Düppel- 

 verhältnisse den nämlichen Werth erhalten, so ist der geo- 

 metrische Ort des entsprechenden Punktes P ein leicht 

 konstruirbarer Kegelschnitt ^g durch die Punkte 5, 6, 7 

 und 8 ; ebenso erhalten wir als geometrischen Ort des 

 Punktes P, für welchen das dritte und vierte Doppelver- 

 hältniss mit einander übereinstimmen, einen zweiten Kegel- 

 schnitt ^., durch die Punkte 5, 6, 7 und 9. 9:^ und t^ 

 schneiden sich ausser in 5, G und 7 noch in einem vierten 

 Punkte, welches der gesuchte, allen Bedingungen ge- 

 nügende Punkt P ist. 



Die Kegelschnitte ^g ^'^^^^^ ^9 bestimmt man am 

 einfachsten dadurch, dass man zu den 4 je bereits be- 

 kannten Punkten derselben noch die Tangente in einem 

 dieser Punkte aufsucht. Für tg z. B. sind die Punkte 

 5, 6, 7 und 8 bekannt und es muss das Doppelverhält- 

 niss 5 . 5, 6, 7, 8 des Strahlenbüschels, dessen Scheitel der 

 Punkt 5 ist und dessen Strahlen ausser 5 6, 5 7 und 5 8 

 noch die Tangente im Punkte 5 ist, den gegebenen Werth 

 (f., /g, t^, t^) erlangen; die Tangente im Punkte 5 lässt 

 sich hiernach sofort hnden. 



Betrachten wir nun unter den Kegelschnitten des 

 Büschels denjenigen, dessen Tangente die Gerade 12 ist; 

 diese Gerade muss dann, weil sie mit dem fraglichen 

 Kegelschnitte 3 Punkte gemein hat, einen Bestandtheil 

 desselben bilden; er zerfällt also in das Linienpaar 1 2, 3 4. 

 Konstruiren wir den entsprechenden Strahl des Strahlen- 

 büschels aus P zum Strahle 12 des Tangentenbüschels, 

 so trifft derselbe die Gerade 12 in einem Punkte, der 

 natürlich der Kurve angehört und folglich der gesuchte 

 Schnittpunkt von 12 mit dieser Kurve ist. 



