328 Engel, Konstruktionen zur Geometrie der Flächen 



Begründung wir auf das augeführte Werk Salmons ver- 

 weisen, scheint von Sylvester herzurühren. Nach einer 

 ebendaselbst sich findenden Bemerkung hat Dr. Hart im 

 6. Bde. des Cambridge and Dublin Mathematical Journal, 

 pag. 181 (s. auch Durege: Ebene Kurven dritter Ordnung, 

 § 263 ft'.), ein Verfahren zur Konstruktion des fraglichen 

 Punktes gegeben, das nicht voraussetzt, dass bereits eine 

 Kurve dritter Ordnung durch die 8 Punkte gezeichnet 

 vorliege. Der nämliche Gelehrte hat neuestens von der 

 betreffenden Aufgabe folgende Lösung gegeben (s. Her- 

 mathena XIII, pag. 286 f. oder die summarische Begründung 

 in Fiedlers Darst. Geom. III. Theil, 3. Aufl., pag. 234 f.). 

 Man wählt 3 der 8 Punkte als Fundamentalpunkte 

 eines Dreilinienkoordinatensystems, d. h. als die Ecken 

 des bezüglichen Fundamentaldreiseits, die übrigen 5 Punkte 

 mögen Ä, B, C, D und E heissen, der gesuchte 9te Punkt 

 dagegen P. Man ermittelt diejenigen Punkte A', i?', C", 

 D' und E\ deren Koordinaten die reziproken Werthe der 

 je entsprechenden Koordinate der Punkte A, B, C, D 

 und E sind. Bezeichnet mau mit {P . D, E, A, B) das 

 Doppelverhältniss des Strahlenbüschels vom Scheitel P, 

 dessen 4 Strahlen PP, PP, PA, PB sind, ebenso mit 

 (C . D\ E', A', B') etc. entsprechend gebildete Doppelver- 

 hältnisse, so hat man 



{C . D\ E\ A\ B') = {P.I),E,A,B) und 

 U' . B', C", D', E') = (P. P, C, P, E). 

 Die erste dieser Gleichungen lehrt, dass sich P auf 

 einem gewissen, leicht zu bestimmenden Kegelschnitte 

 durch die Punkte P, E, A und B befinden muss, die 

 zweite dagegen, dass P auch auf einem ebenso leicht zu 

 verzeichnenden Kegelschnitte durch die Punkte P, C, P 

 und E liegt. P ist daher der vierte, linear konstruirbare 



