330 Engel, Konstruktionen zur Geometrie der Flächen 



Diese Punkte 9' und 10' sind dann und nur dann reell 

 vorhanden, wenn die Fläche F^ eine Regelfläche ist. In 

 diesem Falle ^Yird sie nämlich von ihrer Berührungsebene 

 im Punkte 1 in 2 Geraden g und l geschnitten; jede 

 dieser Geraden, z. B. auch g, trifft sowohl die Fläche F^ 

 als auch die Fläche F^ in einem Punkte. Der Schnitt- 

 punkt mit F^ ist ein Punkt von R^^-^ d^r Schnittpunkt 

 mit F^ ein Punkt von i^ig. Die beiden Punkte hätten 

 in der angenommenen Projektionsebene dieselbe Projek- 

 tion, welche also eine der Punkte 9' oder 10' sein müsste. 

 Damit ist die Bedeutung der Punkte 9' und 10' klar, 

 es sind die Durchstosspunkte von g und l mit der Pro- 

 jektionsebene. Dass diese Punkte nur dann reell vor- 

 handen sein können, wenn die Fläche F-^ eine Regelfläche 

 ist, ergibt sich sofort, wenn man sich die beiden Punkte 

 9' und 10' mit dem Projektionszentrum durch (Gerade 

 verbunden denkt. Diese Geraden müssen ofi'enbar ganz 

 auf i"j liegen, da sie mit dieser Fläche je 3 Punkte ge- 

 mein haben, nämlich ausser dem Punkte 1 noch die 

 beiden Punkte, in welchen die fragliche Gerade die 

 Kurven R^o und R^-^ triff't. Damit ist nun der Weg ge- 

 wiesen, auf welchem durch räumliche Konstruktion der 

 neunte gemeinsame Punkt von 2 ebenen Kurven dritter 

 Ordnung gefunden werden kann. Man betrachtet die 

 beiden gegebenen Kurven als die Projektionen zweier 

 Raumkurven vierter Ordnung erster x^rt, die 7 von ein- 

 ander unabhängige gemeinsame Punkte besitzen sollen, 

 aus einem dieser Punkte und sucht dieser Annahme 

 entsprechende Flächen F^, Fo und F.^. Natürlich muss 

 eine derselben eine Regelfläche sein, deren 2 sich im 

 Projektionszentrum schneidende Erzeugende durch 2 

 der in der Ebene unserer Kurven dritter Ordnung ge- 



