Notizen. 273 



Man stelle nun ß als Product von Potenzen verschiedener 

 Primzahlen dar, ebenso ^, reducire in jeder Potenz den Ex- 

 ponenten auf 2 oder 1, je nachdem er gerade oder ungerade 

 ist und erhalte so aus Sl und ^ resp. ßi und ^t^ . Es sei P^ 

 der grösste quadratische Theiler von ^,, welcher ^auch in Sli 

 aufgeht, Q/^ der grösste quadratische Theüer von ^i, welcher zu 

 ßi prim ist, und A = P^ Q^ ^2. Ferner sei P^ R^ der grösste 

 quadratische Theiler von ßi, welcher zu z/2 prim ist, und ßi 

 — P^E^Sli. Endlich sei @ der grösste gemeinschaftliche Theiler 



von ßa und z/2, ß' derjenige von © und-^, ^' derjenige von 



und -p- und 



= 0'ß' z/', ß2 = ß' ß" = &' ß'2 /:/' ß", z/2 = 0z/'^" = 0'z/'2ß'z7". 

 Dann sind P, Ö, R, SI2J2 relativ prim; ebenso 0', ß', z/', ß", zi". 

 Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass 

 f (also auch F) eine Xullform sei, lautet nun in Legendre'schen 

 Zeichen: Es muss sein 



für jeden ungeraden Primfactor « von z/' ß", 8 von ß'z/", 

 ö von 0'.») 



Da diese Bedingung sich nur auf den quadratischen Charak- 

 ter der Formen bezieht, so ergibt sich sofort der Satz: 



Jedes Geschlecht indefiniter ternärer quadratischer Formen 

 enthält entweder keine oder nur Xullformen. 



Ist die Determinante D ungerade, so gilt nun für die An- 

 zahl der Klassen, welche einem vorgeschriebenen Geschlecht 

 von primitiven Nullformen angehören, folgender Satz: 



Es seien 



j^n,j02, . . . p^ diejenigen Primfactoren der Form 4ÄH- 1 von P, 



für welche 



/ /•\_/ 0'ß'z/" \ / F\_/ 0' d'Sl" \ 



01,02, ... ö„ die sämmtlichen Primfactoren der Form Ak-{-l 

 von 0, s eine relative Primzahl zu 0, für welche 



^) Smith „On the criterion etc." Proceed, Roy. Soc. vol. XIII. 



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