Notizen. 411 



die Abh. von 1847 erhält. Ich hebe von dem ersten nur die 

 Grundanschauung und ein Beispiel hervor, weil sie mir bei dem 

 zweiten nützlich sein werden. 



Wenn man den Durchdringungskegelschnitt von zwei parallel- 

 axigen einfachen gleichseitigen Rotationshyperboloiden ortho- 

 gonal in der Richtung der Axen projicirt, so ist die Projection 

 ein Kegelschnitt in doppelter Berührung mit den Umrissen oder 

 Kehlkreisbildern der H)-perboloide. Ein bestimmter Punkt P 

 des Kegelschnittes ist der Schnittpunkt von zwei Paaren von 

 geraden Mantellinien der beiden Hjperboloide und wenn wir 

 eine Mantellinie des einen und eine des andern Hj'perboloids 

 bis zum Schnitt il/i, M^ mit dem zugehörigen Kehlkreis ver- 

 folgen, so erkennen wir aus der 45 ° Neigung dieser Geraden 

 zu den Kehlkreisebenen und also zur Projectionsebene, dass 

 PPj = PiMi, PP^ = P^ Ufa ist, wenn wir mit Pj , P^ die 

 Orthogonalprojectionen von P auf beide Kehlkreisebenen resp. 

 bezeichnen. Erinnern wir uns noch, dass dieProjectionen Pj My_^ 

 P^Mi der Mantellinien PM^, PM^ auf die Kehlkreisebenen 

 Tangenten der respectiven Kehlkreise in M^ resp. ilf j sind und 

 dass für Punkte P zwischen beiden Kehlkreisen die Summe der 

 Distanzen P P^ und P P^ constant, für Punkte P ausserhalb der 

 durch sie begrenzten Schicht aber die Ditferenz der Distanzen 

 P Pi und P P2 constant ist, nämlich gleich dem Abstand d der 

 Kehlkreisebenen von einander, so haben wir den Fundame ntal- 

 satz der Steiner'schen Abhandlung von 1852 bewiesen (er ist wie 

 alle seine merkwürdigen Consequenzen von Steiner ohne Beweis 

 gegeben): Der Ort eines Punktes, für welchen die 

 Summe oder der Unterschied der Längen der von 

 ihm aus an zwei feste Kreise seiner Ebene gehenden 

 Tangenten constant ist, ist ein Kegelschnitt, der 

 diese beiden Kreise je doppelt berührt und dessen 

 eine Axe in die Centrale dieser Kreise fällt. Mau 

 sieht sofort, dass man, wenn diese Kreise und die constante 

 Länge d gegeben sind, den zugehörigen Kegelschnitt construiren 

 kann als Projection der Durchdringung von zwei einfachen 

 gleichseitigen Rotationshyperboloiden, deren Kehlkreise durch 

 jene orthogonal projicirt und im Raum durch den Abstand d 

 ihrer Ebenen getrennt smd; man erhält in der That äusserst 



