414 Notizen. 



bindungslinie der Spitzen iJf , ilfg liegt {J oder E je nachdem 

 diese auf verschiedenen Seiten der Tafel liegen oder auf der- 

 selben, d. h. je nachdem die Durchdringung Ellipse oder Hj'- 

 perbel ist), der Kehlkreis eines durch ihn gehenden gleich- 

 seitigen Rotationshyperboloides und wird somit von der Or- 

 thogonalprojection der Durchdringung doppelt in F und P* be- 

 rührt. Damit gelangen wir unmittelbar und in zwingender Weise 

 zu den Steiner'schen Formeln und Sätzen. 



Zuerst für die Ellipse. Die Kreise um Ci, C^ durch P, P* 

 haben die Radien ^1,^2, ihre Centraldistanz ist 2 c; ihr innerer 

 Aehnlichkeitspunkt J", der von Ci , C^ die Entfernungen i,, ?2 

 besitzt, ist der Mittelpunkt ihres Innern durch P, P* gehenden 

 Potenzkreises vom Radius ri\ und da dieser in P,P* von der 

 Projection der Durchdringungsellipse berührt wird, so ist n 

 die Länge der Normale in P zwischen Fusspunkt und Haupt- 

 axe ; r^ und rj oder Ci P und C^ P sind die Radien vectoren von 

 P, c ist die lineai-e Excentricität des Kegelschnittes, dessen 

 Hauptaxe AB = 2,a = ri -\- r^ ist. Nun hat man {vi -{- ri):'2c — 



r, : li = To'. 12 oder L — — —^ , ^ 2 = — ; — - •, natürlich also 



rx + r^ ' " >*i + »'2 



4- ^ y* Y 



«1 + ^2 = 2 c und ix r^ — i^ >'i also auch e'i i. 



(>'l+*-2) 



Ferner ist die Potenz des Innern Aehnlichkeitspunktes ^i = r{^ = 



(ri + ii ) (>'2 —H ) = r, r^ — i^ i^ = ^i ^3 | 1 — \^\ J = 

 ri r^ -^ — mit ^l 1-2 — — ^ ?*i ^2 oder auch ri^ = /i i^ 



Die Steiner'schen Grundformeln in ganz anderer aber 

 mindestens ebenso einfacher Ableitung. Mit der Festsetzung der 

 numerischen Excentricität c: a — e und mit a'^ — c'^ = b^ kann 



man schreiben i 1 ?2=e2 i\r2^ri'^— (1 — e-j^irg =(— i — lh'i4- 



2c:e = 



— 1. 



