Fiedl&r, Geometrische Mittheilungen. 157 



und die Coefficienten der Substitution ergeben sich wie folgt 

 ^13 = 0, ß,, ^o,ß,,=o, ß,, - 0, ^31 = 0, ^32 = 0, ^,3 = 0, ß,, = 0; 



2^93=^(l-w), 2ß,^=fi{l+m); 2ß,,^ (i{l -{- c), 2ß^,^fi{l-c). 



Die Substitution selbst ist daher 



_ c (1 -j-m) Xj- {l- m) Xs _ {l-\-m)Xi + (l-w)a;3 

 ^~m (1 + c) 0^1 - {1 - c) X, ' ^ - ^ (1+ c) cci - (1 - c) X2 ' 



_ (1 4- c) a?! + (1 - c) a?; 

 (1 + c) aji — (1 - c) 072 ' 



die gegebenen Geraden und die Axe der z werden wie es sein 

 muss in 



a;i = , Xi = und x^ = 0, 0:3 = 0; % = 0, X4 = 



Übergeführt, indess die Ebenen x = und z/ = und die 



unendlich ferne Ebene die Gleichungen erhalten 



{l-^m)Xi = 0--m)x3, {l-lrm)Xi = - {l-m)x3; (l-|-c)a;i = ( 1-0)0^2. 



Damit wird die Gleichung des Hyperboloids (für A = 1 des 

 hyperbolischen Paraboloids) 



&') (1 + m^) {(1 + eyx,^ - il-cyx\vl} + {il-{'m)W-{l-m)n'xl} = 



und zeigt sofort, dass das Fundamentaltetraeder in Bezug auf 

 alle diese Flächen ein Quadrupel ist und dass seine drei Gegen- 

 kantenpaare Paare conjugirter Geraden sind. Für jedes A^ 

 geht das Hyperboloid durch das nicht reelle windschiefe Vier- 

 seit, welches die Ebeneupaare 



1^ 

 x, (1 + c) (1 + m^)^± i (1 + »0 Xi = Q, 



X2 (1 — c) (1 + mY ± i (1 — m) X3 = 

 mit einander hervorbringen, offenbar die Ebenen vom Schlüsse 

 des vorigen Art., die Doppelebenen der orthogonalen Invo- 

 lutionen harmonischer Polarebenen durch die betrachteten 

 Geraden. Das Hyperboloid für einen bestimmten Werth von 



