Schwarz, über Miniraalflächen. 255 



bezieblich mit u, v, iv und führt statt s irgend eine 

 Function t von s als neue unabhängige Variable ein, so 

 erhält man folgenden Satz: Sind ?(, v, iv im. Sinne der 

 neueren Fuuctionentheorie drei Functionen derselben com- 

 plexen Grösse t, welche die Eigenschaft besitzen, dass die 

 Summe der Quadrate ihrer Ableitungen 



(t)^+( 



Tt) \dt) 



identisch gleich Null ist, so stellen die Gleichungen. 



X = ^{it), y -- n{v), z = n{w) 

 wenn x, y, z rechtwinklige Punktcoordinaten bezeichnen 

 und der Buchstabe 91 die oben erklärte Bedeutung hat, 

 in allgemeinster Weise eine Minimalfläche dar. Diese 

 Gleichungen stehen übrigens mit den von Monge (Appli- 

 cation de l'Analyse ä la Geometrie, edition de M. Liou- 

 ville pag. 219 et 220) gegebeneu auf derselben Stufe. 



Werden die drei complexen Grössen u, v, tu in drei 

 Ebenen durch Punkte geometrisch dargestellt, so ergeben 

 sich drei conforme Abbildungen der betrachteten Minimal- 

 fläche auf diese drei Ebenen. Da nun den Curven, in 

 welchen die Minimalfläche von der Ebeneuschaar z = const. 

 geschnitten wird, in der Ebene der complexen Grösse lo 

 eine Schaar von parallelen Geraden entspricht, welche die 

 reelle Axe dieser Ebene rechtwinklig schneiden, so bilden 

 die Curven z ^^ const. (Niveaucurven) nebst ihren ortho- 

 gonalen Trajectorien, den Curven des stärksten Falles, 

 ein isometrisches Curvensystem auf der Fache. Dieser 

 Satz gilt unverändert für alle Curven, in welchen eine 

 Minimalfläche von irgend einer Schaar von parallelen 

 Ebenen geschnitten wird, und deren orthogonalen Tra- 

 jectorien. 



