256 Schwarz, über Minimalflächen. 



Bezeichnet man die zu den Grössen u, v, lu conju- 

 girten complexen Grössen mit ti^, %, iVi, so ergibt sich 



dp = dx^ + dy^ -f dz^ =- 

 = -p- ] du ' dui + dv • dvj^ -f- dw • div^ r 



Man verdankt Kiemann eine interessante geometrische 

 Interpretation dieses Satzes (S. Art. 7 der oben erwähnten 

 Abhandlung). Nach der obigen Formel ist zunächst das 

 Quadrat des Linienelementes der Minimalfläche gleich der 

 halben Summe der Quadrate der entsprechenden Linien- 

 elemente in den Ebenen der complexen Grössen u, v, iv. 

 Da , nun die Linearvergrösserung bei der conformen Ab- 

 bildung in irgend einem Punkte nach allen Richtungen 

 dieselbe ist, so ist die Flächenvergrösserung gleich dem 

 Quadrate der Linearvergrösserung. Also ist das Plächen- 

 element der Minimalfläche gleich der halben Summe der 

 entsprechenden Flächenelemente in den Ebenen der com- 

 plexen Grössen u, v, w und dasselbe gilt von ganzen 

 Flächentheilen der Minimalfläche und deren, conformen 

 Abbildungen auf den Ebenen der Grössen ti, v, w. Werden 

 nun die Flächeuelemente in diesen Ebenen beziehungsweise 

 durch dx • d%, dy • d^, dz • d^ bezeichnet (wobei zu be- 

 merken ist, dass diese Producte in Folge der soeben 

 getroffenen Festsetzung nicht mehr dieselbe Bedeutung 

 haben, wie vorher) so wird durch den angegebenen Satz 

 die Berechnung des Flächeninhalts eines gegebenen Stückes M 

 einer Minimalfläche auf die Berechnung des Integrales 



-H- I \{dx ■ d%-\-dy • d\^-\-dz • d'^ 



zurückgeführt, (Man vergl. die Formel 5 des Art. 6 der 

 citirten Abhandlung). Dieses Doppelintegral geht aber. 



