Schwarz, über Minimalflächen. 259 



Deukt man sich nämlich die Coordinateu x, y, z 

 eines beliebigen Punktes der vorgeschriebenen Linie und 

 ebenso X, Y, Z, die Cosinus der Winkel, welche die 

 vorgeschriebene Normale in dem betrachteten Punkte 

 mit den Coordinatenaxen bildet, als analytische Func- 

 tionen einer reellen Variableu t gegeben, so dass also die 

 Gleichungen 



X2 + Y^ -+- Z^ = 1, Xdx -f Ydy + Zdz = 



identisch befriedigt sind, so sind die Functionen ii, v, w 

 für die reellen Werthe von t, abgesehen von additiven 

 rein imaginären Constanten, auf welche es hier nicht an- 

 kommt, eindeutig bestimmt und befriedigen die Gleichungen 



X du + r dv -hZdiv = 0, {duf -f {dvy + {divy = 



identisch. 



Weil aber die Functionen u, v, iv analytische Func- 

 tionen der Variablen t sind, so haben dieselben auch für 

 alle complexen Werthe von t, welche diese Variable als 

 Argument der analytischen Functionen x, ij, z, X, Y, Z 

 annehmen kann, eine bestimmte Bedeutung, während die 

 Gleichungen 



Xdu + Ydv -^ Zdiu = 0, {duy + {dtY -f- {da-y = 



unverändert bestehen bleiben. Wenn man nun der Variablen 

 t auch diese complexen Werthe beilegt, so stellen die 

 Gleichungen 



X' = min), y' = ^{v), z' = m{io) 



eine Minimalfläche dar, welche die vorgeschriebenen Eigen- 

 schaften besitzt. 



Aus dem Vorhergehenden kann auch der Schluss gezogen 

 werden, dass es unter den angegebenen Voraussetzungen nur 



