266 Schwarz, über Minimalfläclien. 



Stückes eine unendlich kleine Drehung auf der Kugelfläche 

 erfahren. Hieraus folgt, dass das sphärische Bild jeder auf 

 der Minimalfläche liegenden Linie, welche hei dieser Biegung 

 in sich selbst gebogen wird, ein Kreis sein muss, v.^elcher 

 bei jener Drehung sich selbst entspricht. Alle diese 

 Kreise bilden eine Schaar von Parallelkreisen der Kugel. 

 Wählt man nun, was stets möglich ist, das Coordinaten- 

 system so, dass den beiden Polen dieser Parallelkreise die 

 Werthe s = und s = oo entsprechen, so ergibt sich, 

 dass bei jeder Biegung der Minimalfläche in sich selbst 

 die Grössen s, s^ in s. ei«, s^-e— *"« übergehen, wo a eine 

 reelle Grösse bezeichnet. Denn es gibt ausser den diesem 

 üebergange entsprechenden Drehungen keine andere, bei 

 welcher jeder der erwähnten Parallelkreise in sich selbst 

 übergeht. Da nun auch das Quadrat des Linienelementes 

 der Fläche dP = {1 -{- ss^y ^{s) %j^{s^) ds ds^ bei der 

 Vertauschung von s, s^ mit s. e^", s^ . e~^" ungeändert 

 bleiben muss, Aveil die Fläche der Annahme zufolge in sich 

 selbst verbogen wird, so muss der absolute Betrag von ^{s) 

 eine Function des absoluten Betrages von s allein sein und 

 hieraus folgt ^{s) == 0. s™~^ wo C eine beliebige, m 

 eine reelle Constante bezeichnet. 



Dieselbe Frage nach den Minimalfläch eu, welche 

 Biegungen von Rotationsflächen sind, ist auf anderem 

 Wege von Bour in seiner Preisschrift über die Biegung 

 der Flächen (Journal de l'Ecole polytechnique , Cah. 39, 

 pag. 99—109 [1860] 1862) beantwortet worden. 



Den Meridianen und den Parallelkreisen der Rotations- 

 flächen entsprechen bei der vorhin getroffenen Wahl des 

 Coordinatensystems die Curveu, längs denen beziehungs- 

 weise der reelle und der imaginäre Theil von i log s con- 

 stant ist. 



