Auflösung der Gleichung X" = .1. 



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anwenden und für denselben ein leichtes Kriterium betreffend die 

 Möglichkeit geben M. 



Ich erwähne zunächst einen bekannten Satz, auf welchen sich 

 die ganze Untersuchung stützt und dessen Beweis hier unter- 

 bleiben mag-). 



Satz: Die charakteristische Determinante 



I A - qp (P) i 



der Matrix rter Ordnung 



^{P) 



cp (if), 0, 



cp' (w), cp (w), 0, 



0, ... 

 0, . .. 



^^,cp'{w),cp{w),0,...0 



besitzt zwei Gruppen von Elementarteilei'n : 

 (A — (p{w)y, Q — l~]i Mal. 



(2) 



Es bedeutet cp {x) eine beliebige Funktion von x, iv irgend eine Zahl, 

 Q — 1 die Multiplizitätsordnung der Wurzel x = w der Gleichung 

 <p{x) =^ cp {iv). Schliesslich sollen die ganzen Zahlen h und l aus 



den Bedingungen 



V =-. (p — 1) ^ + h 



l<h<Q —1 



bestimmt werden, was, bei gegebenen v und q 

 einzige Art möglich ist. 



(3) 

 1, immer auf eine 



Gehen wir nun zu unserer eigentlichen Frage über: „Wann 

 gibt es Matrices X, die u Mal mit sich selbst multipliziert, das 



*) Vergl. Frobenius, Über die cogredienten Transf. der bilinearen Formen, 

 Sitzb. der Berl. Akademie, Januar 1896. 

 Vergl. Cayley, 1. c. 

 ^) Vergl. Bromwich, Theorems on Matrices a. bil. Forms, Proceed. of the Cambr. 

 Phil. Soc. (1900), vol. XI, S. 86 ff. 



F. Muth, Über rat. Funktionen bil. Formen, Grelles Journal (1903), Bd. 125, 

 S. 291 f., oder die Arbeit, Contribution, etc. 1. c. S. 47. 



