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vorgelegte System A ergeben?" Anders ausgedrückt, wann besitzt 

 die Gleichung 



X" = A (1) 



Wurzeln? 



Nehmen wir an, die Elementarteiler von \ k — A \ seien alle 

 bestimmt und je nach den verschiedenen Wurzeln a^, cio, . . . cip der 

 Gleichung \ k — A\. = m Klassen verteilt. Irgend eine der Lösungen 

 X wird eine Normalform N besitzen, die aus 2^ Normalsystemen 

 xVj , N2, . . . Nj} besteht, so dass z.B.: 



N== N,-^ N, A i- ^^^ 



unter der Bedingung, dass die Determinante 



I A-iX- I (i = l,2,...p) 



alle Elementarteiler aufweist, die in der Klasse («,) vorkommen und 

 nur diese. Die Möglichkeit der Lösung hängt zuerst von derjenigen 

 der Bestimmung der Normalsysteme iV], N2, . . . iV^j ab. 



Sei also a irgend einer der 2^ verschiedenen Werte der Wurzeln 

 der Gleichung | A — J. | = und 



(A — ciY, ß Mal ; (A — aY', y Mal ; . . . (a) (5) 



die Gesamtheit der Elementarteiler der Klasse {a). Wir setzen dabei 

 die Multiplizitätszahlen ß, y, . . . ausdrücklich von verschieden vor- 

 aus und setzen 



/>[/>■•• fest. 



Wir sagen, dass zwei aufeinander folgende Elementarteiler der 

 Reihe (5) durch eine Lücke getrennt sind, wenn die Differenz/—// 

 der Exponenten grösser als 1 ist. Es treten im allgemeinen mehrere 

 Lücken auf, welche die Reihe (5) in einer Anzahl von lückenlosen 

 Klassen von Elementarteilern zerlegen wie die folgende: 



(A — ay + \ «i; (A — af, a^; . . . (A — «/-'', «^ + 2 1 ...^ 



«1, «2, . . . a/+2 > 0; e — i ^ 1. | 



Die Exponenten der Elementarteiler der Reihe (5), die in (6) 

 nicht vorkommen, unterscheiden sich von e + 1 und e — i um min- 

 destens 2 Einheiten. 



Die Elementarteiler (2) der Determinante | A — (p (P) \ bilden in 

 diesem Sinne eine lückenlose Klasse. 



