Auflösung der Gleichung X" = A. 



3G9 



Diejenige der Normalformen iS\ , iVg , . . . Nj„ welche dem Werte a 

 entspricht, wird sich im allgemeinen auf weitere, irreducibele Normal- 

 formen I\ {iVi), P2 (102), . . . P,. {Wr) zurückführen lassen, so dass etwa: 



diese betrachtete Normalform darstellt. 

 Die Systeme 



PiOr,), P2(h-2), ...P,0O, 



die wir Elementarsysteme nennen wollen, werden mit Wurzeln 

 der Gleichung 



w'^ = a 



konstruiert. Pi («'1) z. B. besitzt folgende Struktur: 



P, {iv,) 



1, li'l • 

 0, 1, iVi 



0,0, ... l,iv^ 



Die Diagonale enthält nur iVi ; unterhalb der Diagonalglieder kommen 

 die Elemente 1 vor; alle andern Elemente sind 0. Die Ordnungen 

 der Elementarsysteme bleiben vorläufig noch beliebig. 



Wir werden durch das vorhergehende auf die folgende Grund- 

 aufgabe zurückgeführt, mit welcher wir uns jetzt beschäftigen wollen: 



Unter welchen Umständen gibt es Elementarsysteme 

 P{iv), die so beschaffen sind, dass die Gesamtheit der Ele- 

 mentarteiler der charakteristischen Determinanten jA-P'(?t)j 

 eine vorgeschriebene lückenlose Klasse von Elementar- 

 teilern (6) erschöpfen? 



Nach dem Fundamentalsatze, den wir anfangs erwähnt haben, 

 sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem a von null verschieden 

 ist oder nicht. 



1. Fall: a 4= 0. Die Wurzeln der Gleichung 



w" = a 



sind alle einfach, so dass q — 1 = 1. Die Determinanten | A — ^"{w) \ 

 aller gesuchten Elementarsysteme besitzen je nur einen Elementar- 

 teiler (A — luY^ {v, Ordnung von P). Um die Aufgabe zu lösen, 

 braucht man z. B. nur eine der Wurzeln iv herauszugreifen und v 



