Auflösung der Gleichung X" = A. 375 



Exponenten h — ch enthalten und der Exponent von y in T (10) 

 müsste grösser sein als «2. Das ist unmöglich. Man hat also in 

 der Tat die Ungleichheit (13). 



Wir können jetzt die vorgelegte Frage bezüglich der Lösung der 

 Grundaufgabe beantworten. Gegeben sei die lückenlose Klasse von 

 Elementarteilern : 



A^ + i, «1 Mal; k', a. Mal, ... k''-\ «/ + , Mal. (6) 



Aus den Zahlen «1, «2, • • «/+2 leite man die Zahlen di, ch, . . di + 2 

 ab durch Auflösung folgender Kongruenzen : 



dl = «1 ()i), < dl < n 

 n — dl -\- dz = «2 ('Ol < J2 < n 



n — ds-i -i- ds^ ccg (h), < ds < n. 



Ist aber n — ds-\ =-■ «s, dann soll 



ds = 



genommen werden und ds + 1 aus a« + 1 bestimmt werden, wie di aus 

 «1 , u. s. w. 



Damit es eine Gruppe von Elementarsystemen P(0) gibt, die so 

 beschafi"en ist, dass die Gesamtheit der Elementarteiler der Determi- 

 nanten \ l — P" (0) I die lückenlose Klasse (6) erschöpft, ist es not- 

 wendig, dass die Zahlen di, r/2, ... f/, + 2 folgende Bedingungen er- 

 füllen : 



di<cii; d2 < CC2', ... rf; + 2 < ß/ + 2 



und wenn e — ^ > 1 ist, muss ausserdem 



di-\-2 = oder n sein. 

 Dass das Kriterium auch hinreichend ist, sieht man leicht ein. 



Die binomische Gleichung 



X« = Ä 

 im Gebiete der Matrices ist lösbar, wenn die charakteristische Gleichung 



\X - A\ = 



die "Wurzel A = nicht besitzt. Hat sie die Wurzel A = 0, dann 

 hat man die Elementarteiler der Determinante A — A aufzusuchen, 



