376 H. Kreis. 



die derselben entsprechen. Sie bilden verschiedene lückenlose Klassen 

 von Elementarteilern, wie z. B. 



X^ "^ ^, «1 ; A^, «2 ; • • • •^^ ~ ', ^i + 2- 



Für jede solche Klasse bildet man aus den Zahlen a^. «2» . • • «/+2 

 die Zahlen fZi, d^_, . . . di + 2, indem man die Kongruenzen auflöst: 



dl = «1 (n), < dl <n 

 n — ^1 + d-i ^ «2 ('0» < <:/2 < n 



n — ds-in~ds~ ocg {u), < ds < n. 



Sollte 



n — ds-i ^ ccs 



sein, dann nimmt man 



ds = 



und bestimmt dg + i aus der Kongruenz 



ds + l = CCs + l {>i) 



< ds + i <n 



usw. Wir gelangen nun zum folgenden Kriterium: Die bino- 

 mische Gleichung 



Z" =^ A, wo ! .4 I = 0, 



ist dann und nur dann möglich, wenn für jede lückenlose 

 Klasse von Elementarteilern 



r+S «i; A'', «2; . . . X^~\ ai+2 ■ 



die aus den Multiplizitätszahlen ai, a.,, . . . ai + 2 abgeleiteten 

 Zahlen di, d2, ... di + 2 die Ungleichheiten 



dl < «1 ; d2 < CC2', ... di 42^ cci + 2 



erfüllen und wenn ausserdem 



di + 2 = oder w, 



falls e — ? > 1 ist. 



I 



