über Puiiktmeng'en konstanter Breite. 4J 



Eine Punktmenge vom Durchmesser D soll vollständig heissen 

 (und hier mit Md bezeichnet werden), wenn ihr keine neuen Punkte 

 zugefügt werden können, ohne dass der Durchmesser wächst. D wird 

 dabei immer als endlich vorausgesetzt. 



Die Menge Md liegt ganz im Endlichen. Für irgend zwei ihrer 

 Punkte Pi Pa gilt 



(1) _ 8{P,P,)<D. 



Da die Strahldistanz stetig ist, so folgt aus der Vollständigkeit der 

 Menge sofort ihre Abgeschlossenheit. Die Punktmenge Md ist sogar 

 konvex, enthält also mit zwei Punkten P, P^ stets auch jeden Punkt 

 Q der Verbindungsstrecke Pj P.^. Denn ist Pq ein beliebiger Punkt 

 von Md, so ist wegen der Einhelligkeit der Strahldistanz >S'(Po Q) 

 nicht grösser als die grössere der Distanzen *S'(PoPi), S{PqP<^, also 

 auch nicht grösser als D; wegen der Vollständigkeit von Md gehört 

 also Q zur Menge. 



Die Randpunkte von Md bilden eine stetige, konvexe, geschlossene 

 Fläche P, der die Eigenschaft konstanter Breite zukommt. Es gilt 

 nämlich allgemein der Satz: 



Jede Oberfläche P einer vollständigen Punktmenge vom 

 Durchmesser D hat die konstante Breite D. 



Dies wird im Falle eines Raumes von 2 resp. 3 Dimensionen- 

 im folgenden näher ausgeführt. 



Kurven konstanter Breite. 



Die Punktmenge Md liege in einer gewöhnlichen, zweidimensio- 

 nalen Ebene. Die Massbestimmung vermittelt eine konvexe Eich- 

 kurve 51 mit Mittelpunkt. Der Kürze wegen wird angenommen, sie 

 sei ohne Ecken und geradlinige Randteile. Sind P, Q irgend zwei 

 Punkte, und ist E die Länge des zu P Q parallelen Halbmessers 

 von 31, so ist unter der Strahldistanz S{PQ) von P zu Q das Ver- 

 hältnis 



S{PQ) ^ 



OE 



zu verstehen. Es ist dann S{PQ)>0, wenn P+Q, S{P,P) = 0; 

 S(PQ) = S{QP) und S{P' Q') = t-S{PQ), wenn P' Q' \\ P Q und 

 {P' Q') : {P Q) = t Endlich gilt wegen der Konvexität von 91^) die 

 Ungleichung 



(2) SiPQ)<SiPR)-^S{RQ) 



für irgend 3 Punkte PQB der Ebene. 



Jeder Richtung u einer Tangente ordnet 9t die Richtung ü des 

 nach dem Berührungspunkt gehenden Halbmessers zu. Es heisse 



') H. Minkowski: Geometrie d. Zahlen. Pag. 37. 



