44 Ernst Meissner. 



ü radial zu ?r, ?/ tangential zu ü gerichtet. Nach den über 91 

 getroffenen Voraussetzungen gehört zu jeder Richtung je eine Radial- 

 und eine Tangential-Richtung; doch ist die radiale zu einer Radial- 

 richtung von der ursprünglichen im allgemeinen verschieden.^) (tl)4=«. 



Die Begrenzung der Punktmenge Md ist eine geschlossene kon- 

 vexe Kurve C. Eine solche Kurve besitzt in jedem Punkte eine 

 Tangente nach vorn und eine nach rückwärts,-) Im allgemeinen 

 fallen diese zwei Tangenten zusammen; sie sind verschieden für eine 

 Menge von Kurvenpunkten E^ die stets abzählbar ist, aber ganz wohl 

 aus unendlich vielen Punkten bestehen kann.^) In den Punkten E 

 hat die Kurve C Ecken und ein ganzes Büschel von Stützlinien, 

 während in den übrigen, den „regulären" Randpunkten B stets nur 

 eine Stützlinie, die Tangente existiert. Von jedem Punkte ausser- 

 halb gehen an C zwei Stützlinien; insbesondere gibt es stets zwei 

 und nur zwei Stützlinien von gegebener Richtung u. 



Sei nun Pq ein fester Aufpunkt auf C, P ein variabler Kurven- 

 punkt. Es heisse S (Pq P) die Randstrahlfunktion von Pq. Sie 

 ist stetig und besitzt ein Maximum, das wenigstens für einen Punkt 

 p= P*^ angenommen wird. Jeder Punkt Po dieser Art heisse Gegen- 

 punkt von Po- 



Satz 1: Für jeden Kurvenjmnkt Pq von C ist das Randstrahl- 

 maxinium gleich dem Durchmesser D. 



Grösser als D kann es wegen (1) nicht sein. Angenommen, es 

 wäre im Gegenteil stets 



SiPoP)<D-E (£>o). 



Man beschreibe um Pq eine zur Eichkurve 2t ähnliche und ähnlich 

 gelegene Kurve mit dem Ähnlichkeitsverhältnis £ : 1. (Sie wird be- 

 zeichnet mit ST (Po ; e).) Da £ > ist, kann dann stets ein innerer 

 Punkt Q derselben angegeben werden, der nicht zu Mo gehört. Ist 

 jetzt P' ein beliebiger Punkt von C, so hat man 



S{P,P')<b-B S{PoQ)<B 



und wegen (2) 



8 (Q P') <S{QPo)-\-S{PoP')<s^ib-B) = B. 



Man schliesst, dass die um Q erweiterte Menge {Mo -\- Q) immer 

 noch den Durchmesser D haben würde, was der Vollständigkeit wider- 



1) Die einzige Ausnahme tritt für elliptische Eichkm-ven ein. 



2) Jensen. Acta math. T. 30, pag. 190. 



3) F. Bernstein. Über das Gauss'sche Fehlergesetz. Math. Ann. Bd. 64. 



