über Punktmengeu konstanter Breite. 45 



spricht. Also ist f = 0, und wenn P*, P* *> * ' die Gegenpunkte von 

 Pq sind : 



(3) 5(PoP:)==i>, S'(PoP**) = D,.. 



Jeder Punkt Pq von C hat wenigstens einen Gegenpunkt. 



Satz 2: Ist P* ein Gegenputikt von P^, so ist die Gerade 1^2 durch 



[p%, deren Richtung zu P^ Pt tangential geht, eine Stützlinie von C. 

 Denn die Menge 2In liegt wegen (1) ganz im Innern und auf 

 dem Rande der Kurve {|(p^:^). Aber {|(pj:^/ geht wegen (3) 

 durch |p* und hat dort die Stützlinie |^*. 



Satz 3: Jeder reguläre PunM Pq von C hat nur einen einzigen 

 Gegenpunkt. 



Sind nämlich mehrere Gegenpunkte P*, P* *, • • vorhanden, so 

 sind die Strahlen durch Pq, die tangential zu P^ P*, P^ P* *, • • gehen, 

 nach Satz 2 Stützlinien von C in Pq. Da sie verschieden sind, so ist 

 Pq eine Ecke. 



Satz 4: Sind PI, P** Gegenpunhte von P^, so sind auch alle 

 Punkte des Bogens P* P** der Kurve C Gegenpunkte von Pq. 



Ist R ein regulärer Punkt jenes Bogens, so ist die in Pq tan- 

 gential zu Po R gezogene Gerade Stützlinie von 0, also Po der 

 Gegenpunkt von P, und mithin S{Pq R) ^ D. Da aber die Punkte 

 R den Bogen P* P** überall dicht bedecken^), so folgt aus der 

 Stetigkeit der Randstrahlfunktion 



S{PqQ)==D 



für jeden Punkt Q des Bogens P* P* * 



Satz 4': Die Gegenpunkte einer Ecke Pq von C erfüllen also voll- 

 ständig ein Stück der Kurve 9t (Po; D) 



Satz 5: Die Kurve C hat keine geradlinigen Randteile. 



Denn wäre von den drei Kurvenpunkten Pq Py P^ etwa Pq auf 

 der Strecke P^ P^ gelegen, so lege man um den Gegenpunkt P* von 

 Po die Kurve 51 (P*, P), die durch P^ geht. Diese muss einen der 

 Punkte Pi Po ausschliessen, was mit (1) im Widerspruch ist. 



Es sollen jetzt die zwei neuen Begriffe der Kurvenradialen 

 und der Breite eingeführt werden. Radiale in einem Punkt einer 

 konvexen Kurve ist jede zu einer Stützlinie jenes Punktes radial ge- 

 richtete Gerade. 



') Dies folgt daraus, dass die irregulären Eckpunkte bloss eine abzählbare Menge 

 bilden. 



