über Punktmengen konstanter Breite. 49 



und ähnlich gelegen zur Berührungslinie der Eichfläche mit einem 

 ihr in der Kantenrichtung umschriebenen Zylinder. 



Im Fall eines Ellipsoides als Eichfläche wird die Raumkurve 

 eben, eine Ellipse. 



Profil 77,, einer Eifläche in der Richtung n soll die Um- 

 risskurve der orthogonalen Projektion der Eifläche aus der gegebenen 

 Richtung u heissen. Sie ist sonach eine konvexe ebene Kurve. 



Nun gilt folgender, leicht einzusehender Satz: 



Satz IX: Daii Profil der Fläche F in irgend einer Eichiung ist 

 eine Kurve konstanter Breite D, wenn man als Eichkurve das Profil 

 der EicJifiäche in derselben Richtung ivählt. 



Dann folgt aber nach Satz 8 : 



Satz X: Zwei beliebige Flächen konstanter Breite D haben in 

 gleicher Richtung gleiche Profillänge. Sie beträgt das -^-fache der ent- 

 sprechenden Profillänge der Eichfiäche. 



Für die Kugel als Eichfläche, also die gewöhnliche Massbestimmung 

 ergibt sich: 



Die vollständige Punktmenge vom Durchmesser D bildet 

 einen Körper konstanter Breite D. Jede Gerade, die normal 

 in ihn eintritt, verlässt ihn auch normal zur Oberfläche. 

 Die Profillänge des Körpers ist in jeder Richtung dieselbe. 

 (Gleich Dn). 



Wiederum liefert die allgemeine Massbestimmung Beziehungen 

 zwischen mehreren Flächen. 



Es kann eine ganz beliebige Eifläche F durch ihre Stütz- 

 ebenenfunktion p bestimmt werden. Man versteht darunter den 

 Abstand einer Stützebene von einem Fixpunkt im Innern von F, 

 aufgefasst als Funktion der Stellung der Stützebene. Sind («, ß, y) 

 die Richtungswinkel der Stützebenen-Normalen, und führt man durch 

 die Gleichungen 



cos a = sin •9" cos i^ ; cos ß = sin ^9 sin ip ; cos y = cos 9" 



Länge t^ und Poldistanz & ein, so kann ^> als eindeutige Funktion 

 dieser Winkel t, d^ aufgefasst werden. 



p=p{&,^}^). 



') Hieraus folgt z. B., dass in der gewöhnlichen Geometrie (Kugel als Eich- 

 fläche) es ausser der Kugel selber keine aus lauter Kugelflächen zusammengesetzte 

 Fläche konstanter Breite gibt. Denn den alsdann notwendig auftretenden kreis- 

 förmigen Kanten würde eine Gesamtheit von Gegenpunkten entsprechen, die ein 

 Stück einer Ringfläche erfüllen. Man vergleiche die anfangs erwähnten Modelle 

 der Firma Schilling. 



Vierteljahrsscbrift d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. 55. 1910. 4 



