50 Ernst Meissner. 



Die Funktion 



(5) P(u) = ^ [p (^, t/;) + p (;r - ^, t/^ + 7t)] 



genügt der Relation 



P(^, 1/;) = P(n — a-, t/; + n). 



und ist Stützebenenfunktion einer konvexen Fläche mit Mittelpunkt, 

 die, wenn F genügend stetig ist, lauter reguläre Punkte besitzt. Unter 

 dieser Voraussetzung kann sie als Eichfläche verwendet werden. Dann 

 wird die Breite B {&, i>) der Fläche F für die Stellung (•9-, ip) 



5 (^. ^) = 2 fi:::')tp;-'..u:) = ^ = ''°-*-'- 



Somit kann mit der oben angegebenen Einschränkung jede 

 beliebige Fläche F als Fläche konstanter Breite aufgefasst 

 werden. Die Grleiclmng (5) bestimmt die zugehörige Eichfläche. 

 Entwickelt man p(&,tl)) nach Kugelflächenfunktionen, 



p {&, ^) = Xo + Zi + Z, -i^X,^ 



so wird 



P (a, t/;) = -^ (Zo + Z2 + Z, + . . •) 



Zwei Flächen, die in derselben Geometrie konstante Breite haben, 

 stimmen sonach in den Funktionen X^k mit geradem Index überein. 

 Nach Minkowski^) ist nun die Profillänge von Pin die Richtung 

 (&, t) gegeben durch 



n(&,t) = 2 7i Zo + W2 Z2 + CO, Z, H 



wo die tÖ2fc gewisse numerische Konstante bedeuten. Sonach bestimmen 

 sich aber die Funktionen P (0-, t/;) und 11 (%•, t/;) gegenseitig. (Denn 

 die Entwicklung nach Kugelfunktionen ist eindeutig.) 



Aus P(ö-, ^) folgt n(^,ip). Dies gibt einen neuen Beweis des 

 Satzes X. 



Aber bei gegebenem 77 (■§•, ip) ist auch P (O', ip) bestimmt. Es gilt 

 also auch als Umkehrung des Satzes X, 



Satz XI: Haben zwei EifläcJisH in gleicher Richtung gleiche Profil- 

 längen, so sind sie in ein- und derselben Minliowslu sehen Geometrie 

 Flächen konstanter (und gleicher) Breite, und begrenzen vollständige 

 Punktmengen vom selben Durchmesser. 



') H. Minkoivski: Über Flächen konstanter Breite. Werke pag. 275. 



