Neuer Beweis für die Darstellbarkeit deflniter 

 biquadratischer Funktionen als Summe von fünf Quadraten. 



Von 



Werner Wolff. 



Herr Landau ^) hat den Satz bewiesen, dass jede definite biqua- 

 dratische Funktion einer Variabein mit rationalen Koeffizienten sieh 

 als Summe von sechs Quadraten von Funktionen mit rationalen 

 Koeffizienten darstellen lässt. An den Beweis dieses Satzes schliesst 

 Herr Fleck ^) an und zeigt, dass jede solche Funktion sich schon 

 in eine Summe von fünf Quadraten zerlegen lässt. Der im 

 Folgenden auseinandergesetzte neue Beweis dieses Satzes von der 

 Darstellbarkeit jeder definiten biquadratischen Funktion als Summe 

 von fünf Quadraten, trachtet danach, einfacher als der Flecksche 

 zu sein, und stützt sich ebenfalls auf die genannte Arbeit von Herrn 

 Landau. Er wird die komplizierteren Fälle durch linear gebrochene 

 Substitutionen auf die einfacher zu erledigenden zurückführen, und 

 indem dieses Verfahren ausgiebig angewendet wird, gestaltet sich 

 der Beweis des Fleckschen Satzes wesentlich übersichtlicher. 



Die Anregung dieser Arbeit verdanke ich Herrn Landau, der 

 auch bei ihrer endgültigen Gestaltung mir mit wertvollem Rat zur 

 Seite stand. Ich spreche hier Herrn Landau meinen besten Dank aus. 



§ 1- 



Wir wollen von vornherein festsetzen, dass wenn die Ausdrücke: 

 „eine definite Funktion ist als Summe von Quadraten darstellbar" 

 oder „sie ist in eine gewisse Anzahl von Quadraten zerlegbar", der 

 Kürze wegen gebraucht werden, dass dies stets heissen soll: die 

 definite Funktion ist darstellbar als Summe von Quadraten mit 

 rationalen Koeffizienten (z.B.: jede positive rationale Zahl ist in 

 vier Quadrate zerlegbar). 



1) Archiv der Mathematik und Physik, 3. Reihe, Bd. 7, 1904, S. 271—277. 

 (Hier kommen in Betracht: S. 275— 277). 



2) Archiv d. Math. u. Phys., 3. Reihe, Bd. 10, 1906, S. 23—38 u. S. 378; und 

 ebendort 3. Reihe, Bd. 16, 1910, P. 275-276. 



