Neuer Beweis für die Darstellbarkeit definiter hiquadr. Funktionen etc. 111 



Wir wollen nun ausgehen von der definiten biquadratischen 

 Funktion : 



/ (x) = a X* -h h x^ -\- c x^ -]-■ d X -\- e, 



in der die Koeffizienten «, h, r, d und e rationale Zahlen bedeuten. 

 Wenn wir sagen y(,i') sei definit, so soll das heissen, dass für jedes 

 reelle x 



f(x)>0 



ist. Es darf a ^ angenommen werden, da sonst die Funktion 

 höchstens vom Grad 2 ist, und Herr Landau *) hat den Satz bewiesen, 

 dass jede definite quadratische Funktion in fünf Quadrate zerlegbar 

 ist. Aus a ^ folgt aber 



a>0. 



Wir führen in f{x) die Substitution 



vy + S 



aus, wo «, ß, y und ö rationale Zahlen sind, deren Determinante 

 «Ö--/3y ungleich Null ist. Es ist dann 



und wenn wir mit (y y + ö)' erweitern : 



+ c («y + ß)^ (y^ + ö)-^ + d{ay-V ß) (r^ + ö)^ + e (y y/ + ö)^ 

 Ordnen wir nach Potenzen von y, so können wir schreiben: 



F 0/) -- d u' + ^' ?/' H- C ^'^ + d> + e' , 

 und hier sind die Koeffizienten wieder rationale Zahlen. Ist jetzt 

 diese neu entstandene Funktion F {y) als Summe von fünf Quadraten 

 darstellbar, so folgt auch das gleiche für die ursprüngliche Funktion 

 /(;/;). Nämlich wenn 



ist, /■;, 5;, ti rationale Zahlen, so übe man die inverse Substitution 

 aus. Dann wird aus F (y) : 



>) Archiv d. Math. u. Phys., ?,. Reihe, Bd. 7, 1904, S. 27.3-275. 



