112 Werner Wolff. 



Erweitert man mit ( — y x -\- ay, so folgt : 



{ad-ß yyj\.r) = ^ \r, {8 x - ßf -\- s, {8 x - ß) {- y x + a) + 

 / = 1 * 



und hieraus ergibt sich schliesslich: 



5 



f(oc) = ^{r:x''-^s:x-i^i:;y, 



wo Vi, g% t] rationale Zahlen sind. Wenn also der Satz, den wir- 



beweisen wollen, für die durch die Substitution x = '^'^ \,. ent- 



yy + S 



standene Funktion F{y) gilt, so gilt er auch für die ursprüngliche 



Funktion fix). 



Nachdem dies vorausgeschickt worden ist, können wir über / (x) 

 verschiedene Annahmen machen, ohne die Allgemeinheit einzu- 

 schränken. Zuerst können wir voraussetzen, dass in 



fix) = a X* + b x'^ -f- c x^ -\- clx -i- e 



der Koeffizient h Null ist. Denn wäre b von Null verschieden, so 



würde die rationalzahlige Substitution x = y — -. — eine definite 



biquadratische Funktion ohne kubisches Glied ergeben, und ist diese 

 letztere dann in fünf Quadrate zerlegbar, so ist es auch die ur- 

 sprüngliche. 



Ferner können wir annehmen, dass die Funktion 



/ (;r) = a x'^ -\- c x' ^- d x -^ e 



keine mehrfache reelle oder komplexe Wurzel besitzt, also insbeson- 

 dere (weil es definit ist) keine reelle Wurzel besitzt. Andernfalls 

 hätte /(a) nämlich die Gestalt 



f{x) = g^ {x) ' h (cc), 



wo ]i (x) definit quadratisch oder konstant ist, sodass also /< (x) in 

 fünf Quadrate zerlegbar wäre. Es würde dann das gleiche für f(x) 

 folgen. Dann lautet der Landausche Satz ^), den wir später ge- 

 brauchen werden : 



Für jede definite biquadratische Funktion mit rationalzahligen 

 Koeffizienten, ohne mehrfache Wurzeln und ohne kubisches Glied, 



1) Arch. d. Math. u. Pliys., 3. Reihe, Bd. 7, 1904, S. 275—277. 



