Neuer Beweis für die Darstellbarkeil definiter biquadr. Funktionen etc. 113 



d \- 

 (p {x) =/(*•) — (xx-\- -^j = ax* -\-{c — x^) x^ -f- e 



haben alle rationalen Grössen x eines endlichen Intervalles, das die 

 Null nicht enthält, die Eigenschaft, dass 



in x^ = (( definit wird. 



Dieser Satz ist algebraisch einfach zu beweisen. 



Nun können wir weiter annehmen, dass die Koeffizienten von 

 /{x) ganze Zahlen sind, indem wir im andern Falle schreiben würden: 



/(^•) = -^{N'ax'-^N'cx'-t-N'dx^ N'e) = -^f, {x), 



wo N der gemeinsame Nenner der rationalen Zahlen a, c, d, e ist. 

 Ist /i (x) in fünf Quadrate zerlegbar, so folgt aus obiger Gleichung 

 dasselbe für f(x). 



Schliesslich werden wir zeigen, dass noch angenommen werden 

 kann, dass der Koeffizient d von Null verschieden ist. Es sei also 

 d = 0, und ich will zeigen, dass ich diesen Fall auf den Fall d =}= 0, 

 nebst b = und rationalen ganzen a, c, d, e zurückführen kann. 

 Es sei demnach: 



/ (x) = a x^ + c a;^ + e. ^) 



Wir unterscheiden nun zwei Fälle: 



I. Es sei 4 a e — c- = 0. Dann würde für 



f{x) ^ ax*-\rcx^-he = a{x' + -^^ 



die Zerlegung in vier Quadrate ohne weiteres folgen ; denn da a eine 

 positive ganze i-ationale Zahl ist, so ist a in vier Quadrate zerlegbar 

 und also auch f(x). 



IL Es sei 4 a e — c^ ^ 0. Ich führe hier die Substitution 



yij + S 



in f{x) aus, wo a, ß, y, 8 ganze Zahlen bedeuten sollen, deren 

 Determinante ungleich Null ist. Dann betrachte ich, wie es früher 

 geschehen ist, die Funktion 



F iu) = a{a y -^ ^')-i- c{ay ^ ^y {yU -^ 8y + e{y y ^ 8y = 

 = d if -h 6' ^^ + c ?/2 -I- cX y. -f- e , 



') Auch wenn f{x)=ax^-\-cx^ + e definit ist, so braucht f{u) — ai(^ + 

 -\- cn-^ e nicht auch definit zu sein, sodass wir diese quadratische Funktion nicht 

 dazu benützen können, um die Zerlegung der biquadratischen Funktion f{x) in fünf 

 Quadrate nachzuweisen. Wir wissen ja, dass jede quadratische definite Funktion 

 so zerlegbar ist. (Vergl. § 1.) Siehe Fleck, Berichtigung: Arch. d. Math. u. Phvs., 

 3. Reihe, lid. 16, 1910, S. 275—276. 



Vierteljahrsschr. d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. 56. 1911. 8 



