Neuer Beweis für die Darstellbarkeit definiter biquadr. Funktionen etc. 115 



Demnach kann im folgenden in 



f {x) = a x^ -\- c x'^ -\- d X -{- e 



d von Null verschieden angenommen werden und a > ; a, c, d, e 

 ganzzahlig. 



§ 2. 

 Nach dem Landauschen Satz konnten wir schreiben: 

 g) {x) =f{,v) -[xx + ^)' = a ^4 4- (c - x^) ^2 + e - ^, 



wobei qp {x) definit in x^ =^ u ist. Wie a so ist auch e grösser als 

 Null, denn /'(O) 4= 0, weil fix) keine reelle Wurzel hat. Wenn ich 

 also zeigen kann, dass tp {x) als Summe von vier Quadraten dar- 

 stellbar ist, so folgt daraus die Zerlegung von /(*') in fünf Quadrate, 

 Um dies zu zeigen, schreiben wir: 



a ist immer als Summe von vier Quadraten darstellbar. Wenn ich 

 demnach zeigen kann, dass der Ausdruck in der Klammer in vier 

 Quadrate zerfällbar ist, so folgt das gleiche auch für (p (x), denn es 

 besteht die bekannte Identität: 



{ai + ai + «1 + «D {h\ + &i + 61 + &1) = 



4- («1 63 — «2 ^4 — «3 ^1 + «4 hT + «1 (&4 -f »2 &3 — «3 ^2 " «4 ^l)^ 



nach der ein Produkt aus zwei Summen von je vier Quadraten 

 rationalzahliger Funktionen stets als eine Summe dergleichen Art 

 darstellbar ist. Um den Fleckschen Satz zu beweisen, ist es also 

 hinreichend zu zeigen, dass die Grösse 



Aaeti' ~ acP — (c — v.^)^ x^ (4 a e — c^) x^ + 2 c h* — x" — a dr 



= 



4 a^ y.'^ 4 a^ x^ 



selbst oder die durch eine Substitution x == "^ , ^ in f(x) trans- 



formierte Grösse <I> durch geeignete Wahl von %, wobei cp (x) definit 

 in X' bleibt, in drei Quadrate zerlegt werden kann. Kann ich 

 dieses von 



01 == (4 « e — c2) x2 + 2 c x^ — x"' — a d'' 



zeigen, so gilt es auch für O, und setzt man 



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