Neuer Beweis für die Darstellbarkeit definiter biquadr. Funktionen etc. 117 



§ 3. 

 Wir haben von der Grösse 



02 = (4 a e — c^) r- m^ + 2 c ?* m^ — l^ — ad^ m^ 



auszugehen, ad^ ist von Null verschieden, und ich ziehe aus dieser 

 Zahl die höchste Potenz von 4 hinaus und schreibe: 



a d' = 2'" Ä; A = 1, 2, 3, 5, 6, 7 (mod 8). 



Dann setze ich in ^o 



1 = 2""^^ L und m = M 



ein, wo L und M ungerade Zahlen bedeuten, über die noch verfügt 

 werden wird. So ergibt sich: 



= 2''{{4.ae-cYL''M'-{-2c-2"' + 'L'lf-2'' + ''L'-ÄM']. 



02 ist seiner Bedeutung nach positiv für alle solchen Wertpaare l, 



m, dass — einem bestimmten Intervall angehört. Im andern Fall 



wäre dann auch ^ negativ und demnach qp {x) nicht definit in x"^. 



Ist nun A = l (mod 8,) so erhält ^2 die Gestalt 2^^(8wH-7), 

 und da bekanntlich nur die Zahlen von der Form 



2-^(8« + l), 2'^(8« + 2), 2'''(8;z + 3), 2^-^(8« + 5), 2-^'(8w + 6) 



in drei Quadrate zerlegbar sind, so muss dieser Fall später beson- 

 ders behandelt werden. Ist dagegen 



^ = 2, 3, 5, 6, 7 (mod 8), 



so erhält ^g ^^"^^ ^^^ obigen fünf Formen und ist also dann in 

 drei Quadrate zerlegbar. Nach der am Schluss von § 2 gemachten 



Bemerkung bleibt g> {x) bei dieser Bestimmung von x = — = — —r— 



definit in x^, wenn nur L und M als ungerade Zahlen entsprechend 

 gewählt werden. 



So bleibt also alleine der Fall 



a(t = 2''^ A, A = \ (mod 8) 



übrig. Zu diesem Hauptfall gehört z. B. a—\; denn da cZ^ von 

 der Form 2^''(8>^+l) ist, so muss a hier die Gestalt 2'^"' (8 w + 1) 



