Neuer Beweis für die Darstellbarkeit deflniter biquadr. Funktionen etc. 119 

 Kehren wir zu den alten Bezeichnungen zurück, so lässt sich 

 fix) = 2'"' «2 x'' + 2"' C2 a;' + 2''' d^ x -f 2'"' e^ 

 an der Form schreiben: 



f{a^ = 2'''{2'''^-'''a,x'-^2'^-'''c,x-h-2'^-'''d,x^e,}, 



wobei die Exponenten von 2 positiv oder Null sind. Ist die Funk- 

 tion in der Klammer in fünf Quadrate zerlegbar, so ist es auch / {x). 

 Wir können folglich /(ic) in der Gestalt annehmen: 



/ (x) = 2^"' «2 x^ + 2'' Ca x^ + 2'^' d^ x-\~e^\ 



liiebei ist: 



aa ^ 1 ; Cg ^ 1, 3, 5, 7 (mod 8), oder Cg = 0; 

 d^ = 1, 3, 5, 7 (mod 8); 63 = 1, 2, 3, 5, 6, 7 (mod 8). 



Wir führen nun m f{x) — ax^-\- cx"^ -\- dx-\- e wieder eine 

 Substitution aus: 



und betrachten wie früher die Funktion 



-F{y) = a{ay-\- ^y ^ c{ay-^^f {yy -^ÖY -^d{ay^^){yy-^8y-\- 



+ e(yy + öy = 



= a y^ -h y y^ -\-c y^ -{- d' y -{- e . 



JEs interessieren uns die Koeffizienten: 



a ^= a tt* -h c a^ y^ -\- day^ -\-e y*. 



h' = 4:aa^ß-]-2c(a''y8-^aßy^)-\rd{3ay'-d-+-ßy^)^-4:ey^d. 



d' = 4. a cc ß^ ^ 2 c (cc ß d^ -]r ß^y d) -]- d (3 ßyd'- -^ a d^) -{- 4ey ö\ 



Es soll 6' = sein. Wir können h' in der Form schreiben: 



h' ={4:aa^-i~2cay^-hdy^)ß-\-{2ca^y-\-Qday^--h4:ey^)d, 



und wird 



ß = — y (2 c «2 + 3 f/ a y -f 4 e r) 

 d= 4:a a^ -{- 2 c ay^ -\- dy^ 



gesetzt, so wird h' = 0. 



