120 Werner Wolff. 



Jetzt wollen wir für a und y je eine Bedingung festsetzen. 

 Es sei 



a^Ug (mod 8), 



wo cCq eine positive ganze Zahl kleiner als 8 bedeutet. Ferner sei 

 y = 2^^r, TeeeTo (mod 8), 



wo fi eine ganze Zahl grösser oder gleich Null bedeutet und Fq 

 eine positive ganze Zahl kleiner als 8. In Übereinstimmung mit 

 diesen Bedingungen werden nun k und y so bestimmt, dass erstens 

 die Determinante 



ad — ßy = 4:aa*-+~4:Ca^y'^-{-4:day^-'r4:ey* 



von Null verschieden ist (was sicherlich erreicht werden kann), und 

 zweitens dass d' von Null verschieden wird, wenn man darin für ^ 

 und d die Ausdrücke in a und y einsetzt. Es ist: 



d' = — 4: a ay^ {2 c a^ -j-S d ay -{- 4 e y-) — 



— 2cay{2ca^ + 'dday-\-4:ey'')'{4:aa^-\-2cay''-hd y^f -\- 

 -\-2cy^{2ca^-\-Sdccy-i-4:ey"-)(iacc^'^2cay^-4-dy^) - 



— 3 fZ y2 (2 c «2 + 3 (Z a y + 4 e y-) (4 a «^ + 2 c a y2 ^ rf y^)' -+- 

 -{-da{4:aa^-\-2cay^-\-d y^f -{- i e y (i a a^ -\- 2 c a y^ -i- dy^) - 



Hierin verschwinden nicht alle Koeffizienten, denn der Koeffizient 

 von a^" z. B. ist 4^ a^ d (wie das zweitletzte Glied zeigt). So können 

 wir also gleichzeitig ad — ßy und auch d' durch a und y, welche 

 obigen Bedingungen genügen, von Null verschieden machen. 

 Wir durften f{x) in der Form 



f{x) = 2'"^ «2 x^ + 2"' c^ x^ + 2^^' d^ X -f- eg. 



annehmen und wir unterscheiden jetzt die zwei Fälle : 

 I. 62=6 = 2, 3, 5, 6, 7 (mod 8). 

 IL ßg — ß ^ 1 (mod 8). 



I. e = 2, 3, 5 6, 7 (mod 8). 



Nach dem Ausführen obiger Substitution hatten wir 



a = a a* -{- c a^ y"^ 4- d a y^ -\- e y'^. 

 Wird a ^ und y ^ 1 (mod 8) gesetzt, so wird a ^e 2, 3, 5, 6, 7 

 (mod 8). Da d'^ von Null verschieden gemacht worden ist und stets 



