Neuer Beweis für die Darstellbarkeit definiter biquadr. Funktionen etc. I2f 



die Form 2^^ (8 n + 1) hat, so hat a d'^ die Form 2"^' Ä ; Ä = 2, 

 3, 5, 6, 7 (mod 8). Wir kommen also auf diese Weise auf die anfangs 

 erledigten Fälle zurück ; denn die durch die Substitution entstandene, 

 neue Funktion erfüllt alle frühern Bedingungen. 



IL e = e2 = l (mod 8). 

 In 



fix) = 2'"' «2 x' + 2" C2 x^ + 2'^' d.^x + e^ 



können wir für die Exponenten 2a^, c^,di die Voraussetzung machen,, 

 dass wenigstens einer der drei Fälle 



1. dl = 0, 2. c, ^ 1, 3. 2 a, < 2 



vorliegt. Denn wäre das nicht der Fall, d. h. wäre 



dl > 0, Cj > 1, 2«! > 2, 



so könnten wir mf{x) eine Substitution x = 2~^y, (q positiv und 

 ganz) ausüben, sodass aus f(x) 



fiy) = 2'"^-''a,i/^2'^-''c,/-^2'^-'d,y-he, 



würde. Nun lasse man q nach einander die Werte 0, 1, 2, 3, . , ., 

 durchlaufen, bis zum erstenmal einer der drei Exponenten oder 

 auch mehrere negativ werden. Dieses trete bei Qq ein. Dann setze 

 man q = Qq — 1, und es treten dann auf diese Weise die drei Fälle 

 ein, wie sie folgendes Tableau veranschaulicht : 



Ist c = 0, so hat es keinen Sinn von Fall 2 zu sprechen, denn in 

 2'^^C2 wird ja dann Cg Null gesetzt und c, legt man irgend einen 

 .positiven ganzzahligen Wert bei. Wenn c = ist, kommen also nur 

 die Fälle 1 und 3 in Betracht. 



1. dl = 0. 

 D.h.: d = 2'^' d^ = 1, 3, 5, 7 (mod 8). Es war 



d ^= a a* -{- c a^ y"^ -\- d a Y^ -{- e y*. 



Setzt man hier a^4 und yEnl, so wird d die Gestalt 8 w -f 5 

 annehmen, so dass d d'^ Form 2^^ (8 7i + 5) bekommt. Wir werden 



