Neuer Beweis für die Darstellbarkeit definiter biquadr. Funktionen etc. 123 



3. fZi>0, Ci>l, 2ai ^2. 



a) dl =!,«! = 0. 

 D. h.: a = 2^**' «2^1 (mod 8). Dann setze man a = 2 A, A^l 

 und y^El. Dann wird: 



«' = 2* a J.^ + 22 c A^ y2 _|_ 2 ^ ^ y3 -f- e y\ 

 Da d^2,6 ist, und c durch 2 teilbar ist, so bekommt a' die Form 



S /<! -h 5. 



b) dl > 1, «1 = 0. 



d ist also mindestens durch 2^ teilbar. Man setze a^l und y^l, 

 so dass 



a = a a* -(- c «- y^ + rf a y^ + e y^ 



die Gestalt 8 w -f- 2 oder 8 »z + 6 bekommt. Es ist ja hier a ^ 1 

 und e^ 1. 



c) (^x ^ 3; c = oder wenn c 4= : q > 3 ; 2 a, = 2. 



Man setze a ^ 1 und y ^ 1 und dann bekommt a die Gestalt 

 8 w 4- 5, weil hier a ^ 4, c ^ und cZ ^ ist. 



d) fZi > 3 ; c 4= und c, = 2 ; 2 a^ = 2. 



Es ist also d^O und c ^ 4. Hier müssen wir von 

 ^2 = (4 a e — c2) l^ w-* -h 2 c /* Wi^ _ ^6 _ ^ ^2 „^6 



ausgehen. Nun kann man setzen: 



4 a e — c^ = 2^ • 8 iY, iV eine ganze Zahl, 



2 c = 2^ C, C eine ungerade Zahl, 

 ad^ = 2^D, D eine ganze Zahl. 

 Wird dann l =^2L, L eine ungerade Zahl und m = J/, J/ ungerade, 

 gesetzt, so folgt: 



^2 = 2<5{8iVi:2if^ + 2(7L^l/' — L"^- 2''DM^} 

 = 2« (8 w + 1) oder = 2« (8 n + 5). 



Og ist demnach in drei Quadrate zerlegbar. 



e) f?i = 2 ; c = oder wenn c =|= : q > 3 ; 2 «i = 2. 

 Man setze a^l und y = 2r, F^l. Es wird: 



a' = 2^ (»2 a* + c «2 1^ + 2 (^ a r^ + 2'-^ e T*) 

 = 22(8wH-5). 



f) (?j = 2; c 4= und Ci = 2 ; 2 «1 = 2. 



Es ist also c ^ 4 und fZ ^ 4, und es wird, wenn « ^ 1 und y ^ 1, 

 gesetzt wird, a' = 8 w + 5. 



