Zur Theorie der Riem an n sehen Zetafunktion. 



Von 



Edmund Landau in Göttingen. 



Einleitung. 



Es bezeichne ^(s) die Riemannsche Funktion. Riemann') hat 

 bewiesen : 



1. Es ist t{s) --7- eine ganze Funktion. 



2. Es hat t, (s) für s = — 2 m, ivo m ganz und > 1 ist, eine Nidl- 

 ^teüe erster Ordnung. 



3. Alle anderen etwaigen Nullstellen von t,{s) sind nicht reell und 

 gehören dem Streifen, 0<$ft(.s) — ö<l an. 



4. Die ganze Funktion 



(1) ^r(|)^-^?(.) = F(.,) 



genügt der Funktionalgleichung 



(2) F{l-s) = F{s\ 



ÄO dass F{s) eine ganze Funktion von. is —) ist. 



Die etwaigen Nullstellen von F(s) stimmen infolgedessen mit den 

 im Streifen < ö < 1 gelegenen Nullstellen von t, (s) überein. 



Es werde stets s = o -\- t i gesetzt. Es bezeichne N (T) für T> 

 die Anzahl der Nullstellen von ^ (s), d. h. F{s) im Rechteck 0<(7< 1, 

 <t<T, mehrfache selbstverständlich in ihrer Vielfachheit gezählt. 



Es sei a irgend eine feste Zahl > 1, h irgend eine feste Zahl 

 < 0. Die Ordinate T sei von Nullstellen frei. Es bezeichne log t, (s). 

 bezw. log F(s) zunächst den in der Halbebene ö > 1 regulären Zweig, 

 der für s > 1 reell ist, und weiterhin das, was bei Fortsetzung längs 

 der Ordinate T entsteht; hierbei werde 



') 1 in der Numerierung meines Handbuchs der Lehre von der Verteilung 

 der Primzahlen. (Leipzig und Berlin, 1909.) 



