126 Edmund Landau. 



^ log t {s) = arc e (s), ^ log F (5) = arc i^ (s) 



geschrieben. Schon bevor Stleltjes^) seine (für den vorliegenden 

 Zweck noch viel zu feinen) Untersuchungen über die Abschätzung 

 von log r{s) für komplexe s angestellt hatte, v^ar es ein Leichtes, 

 aus den oben zusammengestellten Eigenschaften von t, (s) jede der 

 sechs Relationen zu beweisen: 



(3) N{T) = -^ riog T- ' + ff "^ r+ (1) + Min 



wo M(T) eine beliebige der sechs Bedeutungen hat: 



b+Ti Y + ^^ 



^Sjlf d«;^3j*-ff *;^arcS(6 + ri);larcS(l+ri); 



a + Ti a+ Ti 



b+Ti 



-^ ^ J-5^ ds=4^ (arc Fil-h Ti) - arc F (a -^ Ti)); 



a+ Ti 



,(^^ .. - |(arc i^(|+ Tz) - arci^( a+ Ti)). 



fl + Ti 



Dabei zeigt sich natürlich eo ipso, dass je zwei dieser sechs Funk- 

 tionen sich nur um (1) unterscheiden. 



Es ist nun Herrn von Mangold t^) zuerst gelungen, für eine 

 (d. h. jede) dieser sechs Funktionen 



(4) M (T) = (log'- T) 



zu beweisen. Dabei war eine wesentliche Grundlage seiner Schlüsse 



^) Vergl. seine Arbeiten Eedierches sur quelques series semi-convergentes [Annales 

 scientifiquesderEcole Normale Superieure, Ser. III, Bd. III (1886), S. 201— 258; auch als 

 These erschienen] und Sur le developpement de log F (a) [Journal de Mathematiques 

 pures et appliquees, Ser. IV, Bd. V (1889), S. 425—444]. Doch würden für meinen 

 Zweck auch die ältei'en Lipschitzschen Resultate reichlich genügen; vergl. seine 

 Arbeit Ueber die Darstellung gewisser Functionen durch die Eulersche Summenformel 

 [Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. LVI (1859), S. 11—26]. 

 Wie gesagt, ist (3) u. a. eine leichte Folge aus den Stieltj esschen Sätzen über die 

 Gammafunktion. Daher war es nicht wunderbar, dass ein vor wenigen Jahren 

 veröffentlichter Brief von Stieltjes an Herrn Mittag-Leffler vom 23. 3. 1887 

 (4, Bd. 2, S. 446—447 und 452—457) zeigte, dass Stieltjes im Besitz der Rela- 

 tion (3) war. Übrigens war (3) vordem schon von Herrn Piltz (2, S. 25 — 26) be- 

 wiesen worden. 



^) 2. Stieltjes konnte weder (4) noch eine weniger gute brauchbare Formel 

 über M{T) beweisen, sondern drückt sich in dem genannten Briefe sehr vorsichtig 

 und korrekt so aus: „En admettant donc que Ton puisse negliger var. arg. f{s) 



