Zur Theorie der Riemannschen Zetafunktion. 127" 



die kurz vorher gemachte berühmte Hadamardsche^) Entdeckung:. 

 F (s) hat unendlich viele jSullstellen, und (in heutiger Ausdrucks- 



(1 \^ 

 s — Y j das Geschlecht 0. Anders 



formuliert: Es ist 



(5) (._i)5(.)=.|./'_^^(i_i),i, 



WO Q die Wu7'zeln im Streifen < ö < 1 bei beliebiger Anordnung durch- 

 läuft; b ist eine Konstante. 



Mit (4) hatte Herr von Mangoldt bewiesen: 



(6) NiT)=-^TlogT-^^±^^T^Oi\og^-T); 



aus dem soeben Gesagten folgt (6) zwar zunächst nur für wurzelfrei 

 wachsendes T, damit aber eo ipso auch für stetig wachsendes T. 

 Später gelang es Herrn von Mangoldt^) durch Hinzufügung 

 weiterer feiner Kunstgriffe, sogar 



(7) .¥(r) = 0(logT) 



zu beweisen und damit für stetig wachsendes T die Relation 



(8)^ N{T) = ^TlogT- ^ + ^;^^^"^ y-fQ(logn 



Noch später gelang es mir^), diesen Beweis von (7) und (8) zu- 

 vereinfachen; den Hadamardschen Satz verwende ich jedoch auch: 

 als Hauptstütze aller meiner Schlüsse, wie Herr von Mangoldt 

 es tat. 



Nun fiel zwischen beide von Mangoldtschen Abhandlungen das- 

 Erscheinen einer Arbeit von Herrn Franel"*) in dieser Vierteljahrs- 

 schrift (1896). In Nr. H jener Arbeit will der Verfasser — in der 



[obiges Fis)] sur F A' [F ist obiges a-h Ti für a = 2, A ist obiges ~+ T i],. 

 on a, approximativement, 



Quant ä l'approximation de cette expression, pour la juger, il faudrait avoir 

 une idee de la grandeur de 



var. arg. f{s] sur F A, 



Je crois me rappeler que J'ai fait quelques efforts dans cette direction, qui' 

 n'ont pas ete tout ä fait steriles, mais je ne saurais preciser en ce moment sans- 

 etudier d'abord les notes que j'ai prises sur ce sujet." 



') 1. 



') 7. 



') 44. 



^)4. 



