128 Edmund Landau. 



Absicht, einen Gedankengang, der Riemann vorgelegen habe, "wieder- 

 herzustellen — gewissermassen den umgekehrten Weg gehen als 

 Herr von Mangold t. Herr Franel will erst direkt N{T) abschätzen, 

 ohne den Hadamard sehen Satz zu benutzen; er verwendet dann 

 die Abschätzung von N(T) als wesentliche Stütze zur Herleitung des 

 Hadamardschen Satzes. Hieizu beweist Herr Franel zunächst (3) 

 in einer der sechs gleichwertigen Gestalten, nämlich mit 



M 



(T) == ^ (arci^(^+ Ti^ - arc F{a + Ti)). 



Dann sagt er wörtlich^): „On peut demontrer que l'accroissement 

 eprouve par l'argument de F (s) lorsqu'on decrit le segment rectiligne 

 B H reste, quelque soit h, inferieur ä une grandeur fixe." h ist mein 



T, B mein a-hTi, H mein -Y~^Ti. Herr Franel sagt also, man 



ikönne 



<9) M(T)^0(\) 



beweisen; er sagt dies ohne weitere Begründung und schliesst dann 

 .aus (3) 



,(10) NiT) = -^T\ogT- -^^t||(M T-^0 (1), 



-worauf er alles weitere basiert. Und in der Untersuchung des Ver- 

 haltens von arc i^(.s-) auf jener horizontalen Strecke, worüber Hierr 

 Franel mit den oben zitierten Worten hinweggleitet, liegt die ganze 

 Schwierigkeit! Bis heute kenne ich auch für die durch Herrn von 

 Mangoldt sichergestellte Relation 



<7) .¥(T)=0(logn 



ja sogar für seine ältere Relation (4) nur solche Beweisanordnungen, 

 welche sich wesentlich auf den Hadamardschen Satz stützen. 



Ist nun Herrn Franels Relation (9) richtig oder falsch? Ich 

 ■weiss es nicht. Wohl aber weiss ich auf Grund eines Satzes in einer 

 Arbeit") von Herrn Bohr und mir, dass (9), d. h. (10) in Wider- 

 ■spruch mit der Riemann sehen Vermutung 



.(11) ^s)=HOfürö>| 



steht. Dies auseinanderzusetzen ist der Hauptzweck der gegenwärtigen 

 Abhandlung. 



1) S. 11. Z. 5—3 V. u. 



-) Über das Verhalten von J(s) und t-A^) *w äer Nähe der Geraden ö=1 

 .[Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathe- 

 matisch-physikalische Klasse, Jahrgang 1910, S. 303—330]. 



