Zur Theorie der Riemannschen Zetafunktion. 129 



Das Merkwürdige ist, dassHerrFranel im weiteren Verlaufe seiner 

 Abhandlung Schlüsse unter der Voraussetzung zieht, dass dieRiemann- 

 «che Vermutung richtig ist. Die Voraussetzungen, die er von S. 12 seiner 

 Abhandlung an zugrunde legt, nämlich 1. die Tatsache (10), die allerdings 

 bei ihm keine Hypothese, sondern das Resultat einer dem Leser nicht 

 mitgeteilten Beweisführung ist, 2. die Vermutung (11) — stehen 

 also mit einander in Widerspruch. (10) oder (11) oder beides ist also 

 falsch. Was davon falsch ist, weiss ich nicht. 



Wenn also Herr Franel sich endlich nach 15 Jahren entschliesst, 

 «einen damaligen Beweis von (9), d. h. (10) bekannt zu geben, und 

 wenn dieser Beweis richtig ist, so wird Herr Franel damit das 

 grosse Verdienst erworben haben, das berühmte Riemannsche Problem 

 („Ist (11) richtig oder falsch?") gelöst zu haben, und zwar in nega- 

 tivem Sinne. 



Im § 1 des Folgenden beweise ich bekannte Hilfssätze über die 

 (jlammafunktion und im § 2 die bekannte Relation (3). Wenn ich mich 

 ■auch, wo irgend möglich, zur Vermeidung von Wiederholungen auf 

 mein Handbuch beziehe, so habe ich doch in diesem Buch mit Ab- 

 sicht jene Sätze über r(s) und die Relation (3) nicht entwickelt, 

 sondern, da über M{T) doch nur (7) bekannt ist, an Stelle von (3) 

 bloss 



N{T) = ^T\ogT- ^+^^^f^^ T^-0(\ogT)^M{T) 



bewiesen. Daher die Notwendigkeit, hier mit jenen §§ 1—2 zu 

 beginnen. 



Im § 3 beweise ich, dass zwischen 



(9) if(T) = 0(l) 



einerseits, d.h. (10) einerseits und der Riemannschen Vermutung 

 (11) andererseits ein Widerspruch besteht. Es ergibt sich nämlich aus 

 (9) in Verbindung mit (11), dass bei festem ö>0 die Funktion 



t, (s) ^ _ für ö > -^ -h Ö beschränkt ist ; dies (dass nämlich aus (9) 



und (11) die Beschränktheit dieser Funktion folgt) habe ich zuerst 

 aus einem Briefe Herrn Francis an Herrn von Koch vom 16. 2. 1901 

 gelernt, den beide Herren mir freundlichst im Oktober 1903 zur Ver- 

 fügung gestellt hatten und den ich hier mit ihrer Zustimmung 

 erwähne. Ich gebe im § 3 zunächst den Franel sehen Beweis 

 und dann im § 4 einen anderen, der mehr in meinen üblichen Ge- 

 leisen verläuft. Also aus (9) und (11) folgt die Beschränktheit von 



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t,{s) -— 7- für 6 > -^ + d. Andererseits hat Herr Bohr^) bewiesen, 



') Vergl. § 1 unserer oben erwähnten Abhandlung. 



Viert«ljahrsschrift d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. 56. 1911. 



