130 Edmund Landau. 



dass t, (s) ^— j- sogar für ö > 1 nicht beschränkt ist. Daher besteht 



zwischen (9) und (11) ein Widerspruch. 



Im § 4 beweise ich übrigens, dass aus der Richtigkeit von (11) 

 sogar folgt: M{T) hat seinen lim sup = co und seinen lim inf = — oc. 



Im § 5 erinnere ich an einen Hilfssatz von Herrn Bohr und mir. 

 Im § 6 beweise ich, dass bereits 



M(T) = o(loglogT), 

 d.h. 



der Riemannschen Vermutung widerspricht. 



Ich beweise dort ferner, dass sogar die Relation 



,. M{T) ^ ^ 



lim sup -j — , ' < 



T=^ log log T =- 



der Riemannschen Vermutung widerspricht. Desgleichen die Relation 



lim inf-; — r-"7jr> 0. 

 T= 00 log log T = 



Wenn also die Rie mann sehe Vermutung richtig ist, so ist der 

 Quotient 



jy(r)-^riogT- ^ + |°g(^^> y 



log log T 



bei jedem festen hinreichend kleinen positiven ö immer wieder ein- 

 mal > h und immer wieder einmal < — ö. 



Hilfssatz 1: E^ seien 6^ und 6^><jq fest. Dannistfür0o<6<6^ 

 gleichmässig 



4||-=log^+0(l). 



Beweis: Wegen 



r(.sH-i) = sr(s), 



r'{s + i) ^ 1 r'js) 

 r(s + i) s "^ r{s) 



braucht die Behauptung nur fürs Intervall < ö < 1 bewiesen zu 

 werden. 



