132 Edmund Landau. 



Hilfssatz 2: Es bezeichne logr'(s) den in der von bis — oo 

 (längs der reellen Achse) aufgeschnittenen Ebene eindeutigen Ziveig, der 

 für s > reell ist-, d. h. es sei 



(15) 



arcr(s) = ^logr(8) = ^/-(7s-logs4- J'^(|-log(l+-|- 



ivo die Logarithmen rechts ihren imaginären Teil zwischen — tc und n haben. 

 Es seien 6^ und öj > Gq fest. Dann ist für öq^ö^öj gleichmässig 



(16) arc r {s) = t log t — t-+- 0(1). 



Beweis: Nach Hilfssatz 1 (der übrigens hier nicht in vollem 

 Umfang zur Anwendung kommt) ist es nur erforderlich, 



(17) arcr{ti) = t\ogt—t-\rO{l) 



zu beweisen ; denn aus Hilfssatz 1 folgt bei festen öq, ö, > 6q für 

 öo ^ <5 ^ ^1 gleichmässig 



a + ti a + ti 



avGr{6-^ti)-avGr{ti)=^^^ds = ^^[^-\ogt)ds = o{il 



ti ti 



d. h. (16). 



Nun ist nach (15) für ^>0 



ar 



cr(^0 = -^^-f+J^(^-arctg^), 



wo arc tg den Wert zwischen und — bezeichnet. Anders geschrieben : 



"y log m I — -|^ -(- lim 5'(- arctg— ) 



m , 



(18) =— ^+ lim (Hogw — ^ arctg—). 



Da nun die Funktion arc tg — mit wachsendem positiven u be- 

 ständig abnimmt, ist für ganze m > 1 



vt VI m 



I arc tg —du — ^ < | ^^'^ tg —du < ^ arc tg — < I arc tg —du , 

 1 « = 1 ^ 



also 



(19) ^ arc tg — — arc tg — (Z « < -^ . 



