134 Edmund Landau. 



ist; ferner ist F{s) für reelle s reell und daher 



(s) 



1 — rt 



ds = 



(21) transformiert sich also in 



a+ Ti i + ^*' 



a a + Ti 



(22) 

 7t N{T) = arc i^(a + Ti) + (arc -F (y + ^^) — ^^^ -^ (^ + ^0 )• 



Nun ist nach (1) 



(23) 



arc F{s) = arc s -|- arc (s — 1) + arc r(~^ — ylog 7t + arc ^ (s) ; 

 mit Rücksicht auf 



|arc^s)| = |^loge(.s)|<|loge(.s)| 

 ist bei wachsendem T 



arc t {a -{- T i) = 0(1); 



in Verbindung mit dem Hilfssatz 2 (der hier nur für eine feste Ab- 

 szisse zur Anwendung kommt) ist daher 



arci^(a-l-ri) = 0(l) + 0(l) + flogf-f-flog;r + 0(l) 



T , T T T 



— 102" 



2^2 2 2 



(24) =lT\ogT~^±^f^T+Oil). 



Aus (22) und (24) folgt 



N{T) = -^ Tlog T - ^^^^^^^"^ r+ (1) + i¥ (T), 

 wo 



if(T)=^ ^(arci^(|+ r i)- arc F{a-^ Ti)) = ^^^^ds 



a+Ti 



ist. 



Das ist eine der sechs Formen der Relation (3). Um zunächst 

 die andere Form mit F {s) zu entwickeln, sei a > 1 und & < gegeben. 

 Dann ist nach dem soeben Bewiesenen, wenn es sowohl auf a als auch 

 auf 1 — 6 an Stelle des obigen a angewendet wird. 



