Zur Theorie der Riemannschen Zetafunktion. 139 



Den vorstehenden Beweis, dass (28) aus (10) und (11) folgt, 

 verdanke ich Herrn Franel ; dies stand in dem Briefe, auf welchen 

 ich in der Einleitung angespielt habe. 



Nun folgt bei festem d > für 4- + ö < ö < 1 -f- d aus (27) 



s 



log t{s)\ = \logt{l-hd^ti)^j^ du 



1 + ö + ti 



<log&(l+ö) + 0(l) = 0(l), 

 i(s)\^ e""'"^^''' <e^'''^''''^ = 0(1). 



Also ist für > ^ -h <5 



(29) *■ e(s) = 0(l). 



Andererseits hat Herr Bohr^) bewiesen, dass ^(s) für ö > 1 nicht 

 O (1) ist. Man kommt also zu einem Widerspruch, und der am An- 

 fang dieses Paragraphen ausgesprochene Satz ist bewiesen. Ohne 

 das Zeichen ausgedrückt: Nach (29) ist für ö>l,^^l 



(30) \Us)\<K, 



wo K eine absolute Konstante ist, und Herr Bohr hatte genau das 

 Gegenteil von (30) bewiesen. 



•• • • K' (s) 



übrigens ist der obige Endübergang von ., , zu t, (s) für die 



Aufdeckung des Widerspruches nicht nötig, wenn an Stelle jenes 

 Bohr sehen Satzes der ebenso bewiesene Satz VIH jener Arbeit be- 

 nutzt wird, nach welchem eine Dirichletsche Reihe 



2 



an 



deren Koeffizienten > sind, falls sie für 6- = »; divergiert und für 

 s>rj konvergiert, in der Viertelebene ö > ?; , i > 1 nicht beschränkt ist. 



§ 4. 

 Für den in § 3 bewiesenen Satz will ich nun einen anderen 

 Beweis geben, gleichfalls dadurch, dass ich einen Widerspruch zwischen 

 (10), (11) und dem Satze von Herrn Bohr aufdecke. Diese andere 

 Beweismethode schliesst sich meinen üblichen Beweisanordnungen an 

 (sie benutzt neuere fundamentale Sätze der Funktionentheorie und ver- 

 meidet dadurch fast alle Rechnungen) und soll auch in diesen Schluss- 

 paragraphen allein verwendet werden. 



') Vergl. § 1 der erwähnten Abhandlung. 



